方向余弦の関係(ベクトルと三角比)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 方向余弦 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ の正体を見抜くのがカギ。直線の方向の単位ベクトル $\vec{e}=(e_1,e_2,e_3)$ を考える。

$\vec{e}$ が $x$ 軸となす角の余弦は、$\vec{e}$ と $(1,0,0)$ の内積 $=e_1$。同様に $\cos \beta =e_2$、$\cos \gamma =e_3$。つまり方向余弦は単位ベクトルの成分そのものだ。

$|\vec{e}|=1$ より $e_1^2+e_2^2+e_3^2=1$、すなわち ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$。$\alpha =\beta =60^{\circ }$ なら ${\cos }^2\gamma =1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ で $\gamma$ が決まる。

① 方向余弦は成分。 直線の向きの単位ベクトルを $\vec{e}=(e_1,e_2,e_3)$($|\vec{e}|=1$)とする。$x$ 軸の正の向き $(1,0,0)$ とのなす角 $\alpha$ は $$\cos \alpha =\frac{\vec{e}\cdot (1,0,0)}{|\vec{e}|\cdot 1}=e_1.$$ 同様に $\cos \beta =e_2,\cos \gamma =e_3$。

② 大きさ $1$ から関係式。 $${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =e_1^2+e_2^2+e_3^2=|\vec{e}{|}^2=1.$$ ③ $\alpha =\beta =60^{\circ }$ の場合。 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ だから ${\cos }^2\gamma =1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。$\cos \gamma =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。角 $\gamma$ は $0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ でとるので $\gamma =45^{\circ }$ または $135^{\circ }$。

まとめ 方向の単位ベクトルの成分がそのまま方向余弦。$|\vec{e}{|}^2=1$ が ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ の正体。$\alpha =\beta =60^{\circ }$ なら $\gamma =45^{\circ }$(または $135^{\circ }$)。ベクトルと三角比の融合。

発展 — 一歩先へ。 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ は、単位ベクトルを $3$ 軸に分解したときの“エネルギー保存”の形。物理では、偏光や運動量を直交する $3$ 方向に分けたとき、各成分の2乗和がもとの大きさの2乗になる(ピタゴラスの定理の一般化)として頻出する。方向余弦は、向きを軸ごとの割合で表す標準的な道具だ。

別解

別解 — 座標軸への正射影の長さで捉える(苦手な人にも見通しのよいルート)。 単位ベクトル $\vec{e}$ を、$3$ つの座標軸方向に分解する。$\vec{e}$ の $x$ 軸への正射影の長さは $|\vec{e}|\cos \alpha =\cos \alpha$、同様に $y,z$ 軸へは $\cos \beta ,\cos \gamma$。

$\vec{e}$ を成分で書けば $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$。三平方の定理(3次元版)で、ベクトルの長さの2乗は成分の2乗の和だから

$$1=|\vec{e}{|}^2={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma .$$

これは「直方体の対角線の2乗 $=$ 縦${}^2+$横${}^2+$高さ${}^2$」を、対角線を単位長にして読んだものと同じ。

$\alpha =\beta =60^{\circ }$ なら $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ で、${\cos }^2\gamma =1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$、$\gamma =45^{\circ }$ または $135^{\circ }$。内積(本解)を使わず、「$3$ 方向への影の長さの2乗が足して $1$」という三平方の定理でそのまま出る。