四面体の対辺の垂直(直辺四面体)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「2組の垂直から3組目の垂直を出す」問題は、個別に座標を置くより、3組の内積をまとめて1本の恒等式にするのが鮮やかだ。

A を始点に $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}},\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ とおいて、3組の対辺の内積の和 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ を展開してみる。すると、すべての項がちょうど打ち消し合ってどんな4点でも和は $0$ になる。

仮定より最初の2項が $0$ なら、残る1項も自動的に $0$。恒等式が、証明を肩代わりしてくれる。

① 3つの内積を展開する。 $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{d}-\vec{c},\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\vec{b}-\vec{d},\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c}-\vec{b}$ だから

$$\vec{b}\cdot (\vec{d}-\vec{c})+\vec{c}\cdot (\vec{b}-\vec{d})+\vec{d}\cdot (\vec{c}-\vec{b})$$

$$=\vec{b}\cdot \vec{d}-\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{b}-\vec{c}\cdot \vec{d}+\vec{d}\cdot \vec{c}-\vec{d}\cdot \vec{b}=0$$

— 6項が3組の相殺で消え、恒等的に0である。

② 仮定を代入する。 $\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$ より $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$、$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$ より $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=0$。①の恒等式からただちに

$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0⟹\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$$

③ 吟味。 3組の対辺がすべて垂直な四面体(直辺四面体)は実在する — たとえば正四面体では3組とも垂直で、この定理はその「2つ確かめれば十分」という省力化を与えている。

まとめ: 「2つで3つ目が従う」は和が0の恒等式のサイン。位置ベクトルで書き出して足すだけで6項が消える — 平面の垂心の存在証明(2本の高さが交われば3本目も通る)とまったく同じ骨格が、空間の対辺にも通っている。

発展 — 一歩先へ。 同じ展開から、直辺四面体では対辺の平方和がすべて等しいことも出る: ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CD}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BD}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BC}}^2$。また射影の視点から、直辺四面体には「4本の高さが1点で交わる」(垂心をもつ四面体)という特別な性質もある — 一般の四面体では高さは交わらない。

別解

射影して平面の垂心に帰着させる(3次元を2次元へ)。 D から平面 ABC に垂線を下ろし、足を H とする。$\overrightarrow{\mathrm{HD}}$ は平面に垂直だから、平面内のどのベクトルとも内積 $0$。すると

$$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(\overrightarrow{\mathrm{CH}}+\overrightarrow{\mathrm{HD}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$$

つまり $\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$ ⟺ $\mathrm{AB}\perp \mathrm{CH}$(空間の垂直が、影の垂直に化ける)。同様に $\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$ ⟺ $\mathrm{AC}\perp \mathrm{BH}$。

2つの仮定は「H から C への線が AB に垂直、B への線が AC に垂直」— これは H が三角形 ABC の垂心だと言っている。垂心なら3本目の垂直 $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$ も成り立ち、逆翻訳して $\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$。

恒等式(本解)は無駄のない代数、射影は「この四面体の真上から見ると、垂心の絵が現れる」という幾何の種明かし。直辺四面体とは、垂心の真上に頂点を持ち上げた四面体のことだったのだ。