空間の単位ベクトル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単位ベクトルの作り方は、平面と同じだ。

$$\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

自分の大きさで割る。

まず、大きさを計算する。

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

次に、各成分を $3$ で割る。

$$\vec{e}=\frac{1}{3}(1,2,2)=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$$

確かめる。

$$|\vec{e}|=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{9}{9}}=1✓$$

大きさが $1$ になった。

「向きはそのまま、長さだけを $1$ に」

空間でも、まったく同じ操作である。

そして、この $3$ つの成分には、実は幾何的な名前がついている。

方向余弦 — それは別解で見よう。

① 大きさを求める。 $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$。

② 大きさで割る。

$$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{(1,2,2)}{3}=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$$

まとめ:空間でも単位ベクトルは「大きさで割る」。$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ の大きさは $\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=1$。平面と同じ作り方だ。

発展 — 一歩先へ。 単位ベクトルは、「向きだけの情報」を担う。では、向きの全体は、どんな形をしているか。

大きさ $1$ のベクトルの終点を、全部集める。

平面($2$ 次元)なら、単位円。

$$x^2+y^2=1$$

空間($3$ 次元)なら、単位球面。

$$x^2+y^2+z^2=1$$

「向きの集合 $=$ 球面」

この事実が、地球儀を思い起こさせる。

地球上の位置(緯度・経度)は、まさに「原点(地球の中心)から見た方向」だ。

単位ベクトルは、$3$ つの成分をもつが、自由度は $2$ しかない($x^2+y^2+z^2=1$ という制約があるから)。

その $2$ つの自由度が、緯度と経度である。

$$\vec{e}=(\cos \varphi \cos \lambda ,\cos \varphi \sin \lambda ,\sin \varphi )$$

($\varphi$ が緯度、$\lambda$ が経度。)

球面上の点を、$2$ つの角度で指定する。 これが極座標だ。

そして、ここに深い問題が潜んでいる。

「球面を、平面の地図に写す」という問題である。

地図投影法。

球面を、どうやっても平らな紙に、歪みなく写すことはできない。

これは、ガウスが証明した数学的な事実だ(驚異の定理)。

球面は、平面と本質的に違う曲がり方(曲率)をもっている。

だから、どの地図にも、必ず歪みがある。

• メルカトル図法: 角度は正しいが、面積が歪む(グリーンランドが巨大に見える)
• モルワイデ図法: 面積は正しいが、形が歪む
• 正距方位図法: 中心からの距離は正しいが、それ以外は歪む

「すべてを正しく写す地図は、存在しない。」

この不可能性は、球面の幾何が、平面の幾何と本質的に異なることの現れだ。

そして、球面の幾何では、常識が通用しない。

• 三角形の内角の和が、$180^{\circ }$ を超える(球面三角形)
• 平行線が存在しない(すべての大円は交わる)
• 最短経路は、直線ではなく大円(飛行機が北極回りで飛ぶ理由)

ユークリッド幾何とは違う、非ユークリッド幾何の世界だ。

そして、アインシュタインの一般相対性理論では、

「宇宙そのものが、曲がった空間である」

質量が、空間を歪ませる。 光は、その歪んだ空間の"最短経路"を進む。

だから、重い星の近くでは、光が曲がって見える(重力レンズ)。

単位ベクトル $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ — 大きさ $1$ の、ただの方向。

その集合が球面をなし、球面の幾何が、宇宙の形を語る言語になっている。

別解

単位ベクトルの成分は、「各軸となす角の $\cos$」である。

$\vec{a}$ が、$x$ 軸となす角を $\alpha$ としよう。

$\cos \alpha$ を、内積で計算する。

$$\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \overrightarrow{e_1}}{|\vec{a}||\overrightarrow{e_1}|}=\frac{(1,2,2)\cdot (1,0,0)}{3\times 1}=\frac{1}{3}$$

$y$ 軸となす角 $\beta$ は

$$\cos \beta =\frac{(1,2,2)\cdot (0,1,0)}{3}=\frac{2}{3}$$

$z$ 軸となす角 $\gamma$ は

$$\cos \gamma =\frac{(1,2,2)\cdot (0,0,1)}{3}=\frac{2}{3}$$

$3$ つ並べると

$$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$$

単位ベクトルと、完全に一致した!

「単位ベクトルの成分 $=$ 各軸との角の $\cos$」

この $3$ つを、方向余弦という。

そして、方向余弦には、美しい関係がある。

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

確かめよう。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1+4+4}{9}=\frac{9}{9}=1✓$$

なぜ、$1$ になるのか。

単位ベクトルの大きさが $1$ だからだ。

$$|\vec{e}{|}^2={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

当たり前のことを言っているにすぎない。

だが、この式には意味がある。

平面($2$ 次元)なら、${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ に対応する。

($x$ 軸との角が $\theta$ なら、$y$ 軸との角は $90^{\circ }-\theta$ で、$\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$。)

空間版の「三角関数の基本公式」なのである。

実際の角度を、計算してみよう。

$$\alpha =\arccos \frac{1}{3}\approx 70.5^{\circ }$$ $$\beta =\gamma =\arccos \frac{2}{3}\approx 48.2^{\circ }$$

$\vec{a}=(1,2,2)$ は、$x$ 軸から $70.5^{\circ }$、$y$ 軸と $z$ 軸からは $48.2^{\circ }$ 傾いている。

($y$ と $z$ の成分が等しいので、対称なのは当然だ。)

方向余弦は、結晶学や測量で日常的に使われる。

「この方向は、$3$ つの軸に対して、それぞれどれくらい傾いているか」

その情報を、$3$ つの数で完全に記述できる($2$ 乗の和が $1$ という制約があるので、実質的には $2$ つの自由度)。

空間の"方向"を数値化する、標準的な方法なのだ。

単位ベクトルとは、「方向そのもの」を表す数の組。

その正体は、$3$ つの角度の $\cos$ だった。