正四面体の中央断面が正方形(ベクトルで示す)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中点を結ぶ四角形の各辺は、中点連結定理で三角形の1辺の半分に平行になる。

$\mathrm{AB},\mathrm{BC}$ の中点を結ぶ辺は $△\mathrm{ABC}$ の中点連結で $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ に平行。次の辺は $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ に平行。つまり四角形の辺は、四面体の対辺 $\mathrm{AC},\mathrm{BD}$ の向きで交互に決まる。

正四面体では対辺どうしが「等しい長さ」かつ「直交」。だから四角形は $4$ 辺が等長で隣り合う辺が直角、すなわち正方形。

① 中点連結で辺を表す。 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S}$ を $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点とする。三角形 $\mathrm{ABC}$ で $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$、三角形 $\mathrm{ACD}$ で $\overrightarrow{\mathrm{SR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。同様に $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BD}},\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BD}}$。よって $\mathrm{PQRS}$ は平行四辺形。

② 4辺が等長。 正四面体は全辺が等長。対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ は「向かい合う辺」で、ともに正四面体の辺だから $|\mathrm{AC}|=|\mathrm{BD}|$。ゆえに $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\mathrm{AC}|=\frac{1}{2}|\mathrm{BD}|=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|$。$4$ 辺すべて等長。

③ 隣接辺が直交。 正四面体の対辺は直交する($\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$)。$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$ だから隣り合う辺は直交。

まとめ 中点連結で $4$ 辺を対角線 $\mathrm{AC},\mathrm{BD}$ の半分に翻訳。正四面体の対辺は等長・直交だから、$4$ 中点の四角形は正方形。ベクトル(中点連結・内積)と幾何の融合。

発展 — 一歩先へ。 正四面体の $6$ 辺の中点は、$3$ 組の対辺の中点が正八面体の $6$ 頂点をなす。本問の正方形は、その正八面体の“赤道”の断面。正四面体に内接する正八面体、という美しい入れ子構造が、中点をとる操作から自然に現れる。

別解

別解 — 具体座標で成分計算する(計算で確かめたい人向け)。 正四面体を座標に置く。立方体 $\{-1,1{\}}^3$ の交互の頂点 $\mathrm{A}(1,1,1)$、$\mathrm{B}(1,-1,-1)$、$\mathrm{C}(-1,1,-1)$、$\mathrm{D}(-1,-1,1)$ をとると、$6$ 辺すべてが長さ $2\sqrt{2}$ の正四面体になる。

$4$ 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点は

$$\mathrm{P}(1,0,0),\mathrm{Q}(0,0,-1),\mathrm{R}(-1,0,0),\mathrm{S}(0,0,1).$$

すべて $y=0$ の平面上(つまり中点四角形は平面図形)。辺ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-1,0,-1)$、$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(-1,0,1)$ で、長さはともに $\sqrt{2}$、内積は $(-1)(-1)+0+(-1)(1)=0$ で直交。

$4$ 辺とも長さ $\sqrt{2}$、隣り合う辺が直交 — 正方形だ。中点連結定理(本解)で抽象的に示す代わりに、座標を置くと「中点四角形が実は正方形」が数値で目に見える。