空間ベクトルの実数倍と差

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実数倍と差の組み合わせ。成分ごとに処理する。

まず、$2\vec{a}$ を計算する。

$$2\vec{a}=2(1,2,3)=(2,4,6)$$

次に、$\vec{b}$ を引く。

$$2\vec{a}-\vec{b}=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,4)$$

答えは $(2,3,4)$。

平面のときと、何も変わらない。 成分が $1$ つ増えただけだ。

検算しておこう。

答えに $\vec{b}$ を足し戻せば、$2\vec{a}$ に戻るはずだ。

$$(2,3,4)+(0,1,2)=(2,4,6)=2\vec{a}✓$$

$10$ 秒で終わる検算。 成分が増えるほど、符号ミスの危険も増える。この習慣を、必ず持っておきたい。

そして、$s\vec{a}+t\vec{b}$ という形($1$ 次結合)には、幾何的な意味がある。

それは別解で見よう。

① 実数倍。 $2\vec{a}=(2,4,6)$。

② 差をとる。

$$2\vec{a}-\vec{b}=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,4)$$

まとめ:空間でも「実数倍は各成分を定数倍、差は成分ごとに引く」。$3$ 成分になっても、成分ごとにふつうの数の計算をするだけだ。

発展 — 一歩先へ。 「$1$ 次結合が、何を張るか」という問い。その答えが、線形代数の中心にある。

$3$ 本のベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ が、空間全体を張るかどうか。

判定方法は、$1$ つ。

$$\text{スカラー三重積}\left(\vec{a}\times \vec{b}\right)\cdot \vec{c}\ne 0$$

この値は、$3$ ベクトルが作る平行六面体の体積だった。

体積が $0$ でない $⟺$ $3$ 本が"つぶれていない" $⟺$ 空間全体を張る

体積が $0$ なら、$3$ 本は同一平面上にあり、$2$ 次元分しか張れない。

そして、この値は、行列式でもある。

$$\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)$$

「行列式 $\ne 0$ $⟺$ $1$ 次独立 $⟺$ 連立方程式が一意に解ける」

この $3$ つが、同じことを言っている。

幾何(体積)、代数(独立性)、方程式(可解性)が、$1$ つの数で結ばれる。

これが線形代数の美しさだ。

そして、この構造は、次元を上げても壊れない。

$100$ 次元空間で、$100$ 本のベクトルが独立かどうか。

$100$ 次の行列式を計算すればよい(コンピュータの仕事だ)。

現代の応用は、この判定に満ちている。

主成分分析(PCA)。

$1000$ 次元のデータがあったとして、実は "本質的には $10$ 次元しかない" ということがよくある。

残りの $990$ 次元は、最初の $10$ 次元の $1$ 次結合で書けてしまう(あるいは、ほとんどノイズ)。

「データの本当の次元を見つける」 — それが主成分分析だ。

顔認識では、$10000$ ピクセルの画像($10000$ 次元)が、実は $100$ 次元程度の"顔空間"に収まることが知られている。

だから、$100$ 個の数字で、顔を再現できる。

画像圧縮も、動画配信も、この原理で動いている。

「$2$ 本のベクトルは、平面しか張れない」

この素朴な事実。

その裏返しとして、「高次元のデータも、実は少数の方向で表せる」という、現代のデータ科学の中心思想が生まれている。

$2\vec{a}-\vec{b}=(2,3,4)$ という、なんでもない計算。

その結果が「$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の張る平面上にある」という事実の中に、線形代数のすべてが芽生えている。

別解

$2\vec{a}-\vec{b}$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る"平面"の上にある。

$s\vec{a}+t\vec{b}$ という形のベクトルを、$1$ 次結合という。

$s$ と $t$ をいろいろ変えると、どんなベクトルが作れるか。

$2$ 本のベクトルの組み合わせだけで、空間全体を覆えるだろうか。

覆えない。 作れるのは、$1$ 枚の平面だけだ。

($\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行でなければ、原点を通る $1$ 枚の平面。)

この問題の $2\vec{a}-\vec{b}=(2,3,4)$ も、その平面の上にある。

確かめてみよう。

平面の法線ベクトルは、外積で求まる。

$$\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=(1,2,3)\times (0,1,2)$$

$$=\left(2\times 2-3\times 1,3\times 0-1\times 2,1\times 1-2\times 0\right)=(1,-2,1)$$

この $\vec{n}$ は、$\vec{a}$ にも $\vec{b}$ にも垂直なはずだ。

$$\vec{n}\cdot \vec{a}=1-4+3=0✓$$ $$\vec{n}\cdot \vec{b}=0-2+2=0✓$$

確かに、両方に垂直。

では、答えの $(2,3,4)$ は?

$$\vec{n}\cdot (2,3,4)=2-6+4=0✓$$

これも、$\vec{n}$ に垂直だ!

つまり、$(2,3,4)$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平面の上にある。

当然だ。 $2\vec{a}-\vec{b}$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の $1$ 次結合なのだから。

平面の方程式は

$$x-2y+z=0$$

この平面上のベクトルは、すべて $s\vec{a}+t\vec{b}$ の形で書ける。

逆に、平面の外にあるベクトル — たとえば $(1,1,1)$ は?

$$1-2+1=0$$

あ、これも $0$ になった。 つまり $(1,1,1)$ も平面上だ。

では $(1,0,0)$ は?

$$1-0+0=1\ne 0$$

これは平面の外。 $s\vec{a}+t\vec{b}$ では、決して作れない。

「$2$ 本のベクトルでは、$2$ 次元分しか作れない」

空間全体($3$ 次元)を覆うには、$3$ 本目のベクトルが要る。

この「何本のベクトルで、どこまで届くか」という問いが、次元の概念そのものだ。

• $1$ 本 → 直線($t\vec{a}$)
• $2$ 本 → 平面($s\vec{a}+t\vec{b}$)
• $3$ 本 → 空間全体($s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$)

ただし、$3$ 本目が、最初の $2$ 本が張る平面の外を向いていること($1$ 次独立)が必要だ。

平面の中にある $3$ 本目を足しても、平面のまま。 何も広がらない。

「$1$ 次独立な $n$ 本のベクトルが、$n$ 次元を張る」

空間ベクトルの計算は、この構造の上で行われている。