数学C / 空間ベクトル

球に内接する直方体の最大体積

最難関編最大最小相加相乗

問題

半径 $3$ の球に内接する直方体の体積の最大値を求めよ。

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直方体が球にぴったり入る条件を1本の式にする — 球の中心と直方体の中心が一致するとき、直径に等しいのは直方体のどの長さか。そのあと積 xyz を押さえる不等式は、2乗の世界で使うとぴったり合う。

解答・解説

方針

内接の条件は「直方体の対角線 = 球の直径」の1本: x²+y²+z²=12。体積 V=xyz の最大は、V²=x²y²z² に3変数の相加相乗を使うと (12/3)³=64 で頭打ち — 等号は x²=y²=z²、すなわち立方体。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直方体が球に内接する条件は、たった1本の式で書ける。対角線が球の直径、すなわち3辺 $x, y, z$ について

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (23)^{2} = 12$

最大化したい体積は $V = x y z$ 。「和が一定の下で積を最大化」— 3文字の相加相乗平均の出番だ。ただし $V$ のままでは形が合わないので、 $V^{2} = x^{2} y^{2} z^{2}$ と2乗して「 $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ の積」に直すのがつなぎの一手になる。

定理相加相乗(3変数):

\frac{p + q + r}{3} \geq 3 pq r

(等号 ⟺

p = q = r

)。積の最大化は2乗して和の固定に合わせる

① 条件を式にする。 対角線 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ が直径 $23$ に等しいから $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12$ 。

② 相加相乗で押さえる。 $p = x^{2}, q = y^{2}, r = z^{2}$ に適用:

$3 x^{2} y^{2} z^{2} \leq \frac{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}{3} = 4 ⟹ V^{2} = x^{2} y^{2} z^{2} \leq 4^{3} = 64 ⟹ V \leq 8$

③ 等号の確認。 等号は $x^{2} = y^{2} = z^{2} = 4$ 、すなわち $x = y = z = 2$ (1辺2の立方体)のとき。このとき対角線は $12 = 23$ ✓ たしかに内接し、 $V = 8$ が実現する。よって最大値は

$8$

まとめ: 「内接条件を対角線1本に翻訳」+「積は2乗して相加相乗」の2手。制約が『2乗の和』の形のときは、積も2乗の世界で扱うと不等式が噛み合う — 等号(立方体)の実現確認までがワンセットだ。

発展 — 一歩先へ。 半径 $R$ なら最大は1辺 $\frac{2 R}{3}$ の立方体で $V = \frac{8 R ^{3}}{3 3}$ 。2次元版は「円に内接する長方形の最大は正方形」。制約が対称なら最適も対称 — この経験則(と、それを厳密にする相加相乗・微分)は、最適化のいちばん大きな道しるべだ。

答

$8$ (1辺2の立方体のとき)

別解

1文字ずつ最適化する(微分で段階的に)。 3文字を一度に扱わず、まず $z$ を止める。残る条件は $x^{2} + y^{2} = 12 - z^{2}$ (一定)で、このとき積 $x y$ の最大は2文字の相加相乗から

$x y \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} = \frac{12 - z ^{2}}{2} (等号は x = y)$

よって $V = x y z \leq \frac{z ( 12 - z ^{2} )}{2} = f (z)$ 。あとは1変数の微分:

$f^{'} (z) = \frac{12 - 3 z ^{2}}{2} = 0 ⟺ z = 2 (z > 0)$

増減表から $z = 2$ で最大 $f (2) = \frac{2 \cdot 8}{2} = 8$ 。等号をたどると $x = y$ かつ $z = 2$ 、条件から $x = y = z = 2$ の立方体。

3文字の相加相乗(本解)は一撃だが「 $V^{2}$ に直す」ひらめきが要る。逐次最適化は、2文字の相加相乗と1変数の微分という教科書の道具2つの直列で、ひらめきを腕力に置き換える。多変数の最大化の常套手段として、両方の型を持っておきたい。

ポイント

内接 ⟺ 対角線 = 直径: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12$ 。
$V^{2} = x^{2} y^{2} z^{2} \leq (12/3)^{3} = 64$ (相加相乗)。
等号は立方体 $x = y = z = 2$ 、最大値8。

よくある間違い

内接条件を「対角線=半径」として $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ で進める(対角線は直径 $23$ )。
$V = x y z$ のまま3文字の相加相乗を使おうとして形が合わない( $V^{2} = x^{2} y^{2} z^{2}$ に直してから)。
等号成立( $x = y = z = 2$ が拘束を満たすこと)の確認を落とす。