空間のなす角(応用)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なす角は $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ で求まる。

この問題は $|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ で、$2$ つの大きさがそろっている。すると分母が $3\times 3$ ときれいになる。

「大きさが等しいと分母が簡単」という見通しを立ててから代入する。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 1=2+4+2=8$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3,|\vec{b}|=\sqrt{4+4+1}=3$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{8}{3\times 3}=\frac{8}{9}$$

まとめ:$|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ と大きさがきれいなので、$\cos \theta =\frac{8}{9}$ とすっきり出る。$\frac{8}{9}$ は特別な角ではないので、$\cos \theta$ の値のまま答える(角そのものは求めない)。

発展 — 一歩先へ。 $\cos \theta =\frac{8}{9}$ には、射影の意味を読み取れる。$\vec{b}$ を「$\vec{a}$ に平行な成分」と「$\vec{a}$ に垂直な成分」に分けると、平行な成分の長さは $|\vec{b}|\cos \theta$ だ。

いまは $|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ なので、平行な成分は $3\cdot \frac{8}{9}=\frac{8}{3}$。$\cos \theta$ そのものが「$\vec{b}$ のうち $\vec{a}$ の向きにそろっている割合」になっている。

垂直な成分の長さは $|\vec{b}|\sin \theta =3\cdot \frac{\sqrt{17}}{9}=\frac{\sqrt{17}}{3}$($\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ から)。平行成分 $\frac{8}{3}$ と垂直成分 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ を三平方で合わせると $\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{17}{9}}=\sqrt{9}=3=|\vec{b}|$ にちゃんと戻る。$\cos \theta$ は、$\vec{b}$ を平行方向と垂直方向へ分ける「分け前」を決めている。

別解

別解 — 二等辺三角形の半分の角から出す(得意な人向けの視点)。 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=3$ に注目する。原点 $\mathrm{O}$ と $\vec{a},\vec{b}$ の終点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ が作る三角形 $\mathrm{OAB}$ は、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=3$ の二等辺三角形だ。

底辺 $\mathrm{AB}$ の長さは $|\vec{a}-\vec{b}|$。$\vec{a}-\vec{b}=(-1,0,1)$ だから $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$。

二等辺三角形は、頂点 $\mathrm{O}$ から底辺へおろした垂線で左右対称に割れる。この直角三角形から

$$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{\mathrm{AB}/2}{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt{2}/2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}.$$

$2$ 倍角の公式 $\cos \theta =1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$ に入れて

$$\cos \theta =1-2{\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)}^2=1-2\cdot \frac{2}{36}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$$

内積と大きさから出す本解と同じ $\frac{8}{9}$。$2$ 辺が等しいときは、底辺の長さだけで半分の角が分かり、$2$ 倍角で一気に $\cos \theta$ に届く。