数学C / 空間ベクトル

正四面体の中心から見た頂点

最難関編正四面体対称性

問題

4点 $A (1, 1, 1), B (1, - 1, - 1), C (- 1, 1, - 1), D (- 1, - 1, 1)$ を考える。

(1) 四面体 $ABCD$ は正四面体であり、原点 $O$ が外接球の中心であることを示せ。

(2) $OA + OB + OC + OD = 0$ を確かめ、 $cos ∠ AOB$ を求めよ。

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この4点の座標は「+1 が奇数個」という対称な選び方。辺の長さ・原点からの距離を1組計算すれば、対称性で全部に写せる。(2)の内積は成分でも出るが、和が零ベクトルであることの2乗からも取り出せる。

解答・解説

方針

(1)は6辺の長さと4頂点の原点距離を成分計算で確かめるだけ — 座標の対称性(符号をちょうど2つ反転)が効いて全部同じ値になる。(2)の内積も成分で即算できるが、「和が0」と「大きさが等しい」から2乗の展開だけで −1/3 を出す別ルートも美しい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 4点の座標は「 $1$ と $- 1$ を、偶数個だけ符号反転した組」— きれいな対称性を持つ。

(1)は成分計算で機械的に確かめられる。6辺の長さと、4頂点の原点からの距離を出すだけだ。座標の対称性(どの2点も、ちょうど2座標だけ符号が違う)が効いて、全部同じ値になる。

(2)の内積も成分で即算できる。あわせて、「4本の和が $0$ 」と「大きさがすべて等しい」という構造だけから同じ答えを出す道もある — 2乗の展開1本の美しいルートだ。

重要

∣ \sum u_{i} ∣^{2} = \sum ∣ u_{i} ∣^{2} + 2 \sum_{i < j} u_{i} \cdot u_{j}

— 和が

0

なら内積の総和が確定し、対称性で各内積も確定する

① 正四面体であること((1))。 たとえば $AB$ : 差は $(0, 2, 2)$ で $∣ AB ∣ = 22$ 。どの2点も座標がちょうど2つ符号反転している(積 $+ 1$ の点どうしの差)ので、6辺すべて $22$ — 正四面体である。また各頂点の原点からの距離は $1 + 1 + 1 = 3$ で等しく、原点は4頂点から等距離 — 外接球(半径 $3$ )の中心である。

② 和が零ベクトル((2)前半)。 各成分ごとに $1 + 1 - 1 - 1 = 0$ だから

$OA + OB + OC + OD = 0$

③ 中心角の余弦((2)後半)。 成分で $OA \cdot OB = 1 - 1 - 1 = - 1$ 、大きさは $3$ どうしだから

$cos ∠ AOB = \frac{- 1}{3 \cdot 3} = - \frac{1}{3}$

別ルート: ②の両辺を2乗すると $0 = 4 \cdot 3 + 2 \sum_{i < j} u_{i} \cdot u_{j}$ で内積6組の和が $- 6$ — 対称性からどの組も等しく、各組 $- 1$ 、 $cos = - \frac{1}{3}$ ✓。

外接球の中心 O から正四面体の4頂点へのベクトル(青)。和は零ベクトルで、どの2本のなす角も cosθ=−1/3(約109.5°)

まとめ: 立方体の頂点から正四面体を切り出す座標化は、空間の対称図形の計算を一撃で機械化する常套手段。中心角 $cos^{- 1} (- \frac{1}{3}) \approx 109. 5^{\circ}$ は分子模型(メタンの結合角)にも現れる有名な角 — 「和が0の対称配置」の2乗展開から角度が出る、という(2)の別ルートごと覚えたい。

発展 — 一歩先へ。 $arccos (- \frac{1}{3}) \approx 109.4 7^{\circ}$ は、化学でメタン $C H_{4}$ の結合角として登場する数値そのもの(炭素から4方向へ、正四面体の頂点に水素が付く)。「和が零になる対称な4方向」は、力のつり合い・アンテナ配置・色空間の設計など、あちこちで再利用される配置だ。

答

(1) 全辺 $22$ ・全頂点が $∣ O \cdot ∣ = 3$ (証明) (2) $cos ∠ AOB = - \frac{1}{3}$

別解

「和が零」の2乗で(2)を出す(成分に頼らない)。 4本のベクトルの和を計算すると $OA + OB + OC + OD = 0$ (各座標で $1 + 1 - 1 - 1 = 0$ )。

この式の両辺の大きさを2乗する。対称性から、6組の内積はすべて同じ値 $c$ だから

$0 = \sum ∣ O \cdot ∣^{2} + 2 6 組 \sum (内積) = 4 \cdot 3 + 2 \cdot 6 c = 12 + 12 c$

よって $c = - 1$ 、すなわち $OA \cdot OB = - 1$ で

$cos ∠ AOB = \frac{- 1}{3 \cdot 3} = - \frac{1}{3}$

成分の掛け算(本解)は3秒で終わるが、このルートの価値は一般性にある。「中心からの4本が対称で和が零」という構造だけを使ったので、座標の与え方によらず、どんな正四面体でも中心角の余弦は $- \frac{1}{3}$ — 答えが座標の偶然でないことまで込みで示せている。

ポイント

立方体の頂点の半分(積+1)= 正四面体、全辺 $22$ 。
各成分の和が0 → $\sum O \cdot = 0$ 。
$cos ∠ AOB = - \frac{1}{3}$ (2乗展開の対称性でも出る)。

よくある間違い

$cos$ の分母を $∣ OA ∣∣ OB ∣ = 3$ でなく $3$ とする。
(1)で辺を2、3本だけ確認して「対称性より」と締める(使う対称性の中身=符号2つの反転で点が移り合う、を明示するか、6辺を数え切る)。
和が $0$ になることを確認せずに2乗展開ルートへ進む(このルートの前提)。