2つのベクトルに垂直な単位ベクトル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$2$ ベクトルの両方に垂直」なベクトルは、外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ がまさにそれ。

だから外積を計算し、あとは大きさ $1$ にそろえる(単位ベクトル化)。

向きは正負の $2$ 通りある。

外積を使わず、$(x,y,z)$ とおいて内積 $0$ を連立してもよいが、外積が最短、と見通す。

① 外積を求める。 $\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(0,1,1)$ の外積は

$$\vec{a}\times \vec{b}=(1\cdot 1-0\cdot 1,0\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot 1-1\cdot 0)=(1,-1,1)$$

② 大きさ。

$$|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$$

③ 単位ベクトル。 大きさで割り、正負の $2$ 通り。

$$\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)$$

(確認:$(1,-1,1)\cdot (1,1,0)=1-1+0=0$、$(1,-1,1)\cdot (0,1,1)=0-1+1=0$。両方に垂直。)

まとめ:$2$ ベクトルに垂直なベクトルは「外積」。$\vec{a}\times \vec{b}=(1,-1,1)$ を大きさ $\sqrt{3}$ で割り、$\pm$ の $2$ 通りが単位ベクトル。内積 $0$ の連立でも同じ答えになる。

発展 — 一歩先へ。 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ は、$\vec{a},\vec{b}$ の両方に垂直で、向きは右手の法則(右手の親指の向き)で決まる。答えが $\pm$ の $2$ 通りになるのは、垂直な直線に $2$ つの向きがあるからだ。

外積の大きさ $|\vec{a}\times \vec{b}|$ は、$\vec{a},\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積 $|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ に等しい。方向(垂直)と大きさ(面積)の両方を、外積ひとつが担っている。

平面には「両方に垂直」なベクトルが実質存在しない($2$ ベクトルが平面を張ってしまう)。「垂直方向が取れる」のは $3$ 次元ならでは。外積は空間に特有の道具だ。

別解

別解 — 内積 $0$ の連立で求める(苦手な人向けの手順ルート)。 外積の公式が不安なら、求めるベクトルを $(x,y,z)$ とおいて、垂直(内積 $0$)の条件を連立するだけでよい。

$\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(0,1,1)$ の両方に垂直だから

$$\vec{a}\cdot (x,y,z)=x+y=0,\vec{b}\cdot (x,y,z)=y+z=0.$$

第 $1$ 式から $y=-x$、第 $2$ 式から $z=-y=x$。だから $(x,y,z)=(x,-x,x)=x(1,-1,1)$。方向は $(1,-1,1)$ に決まる。

大きさ $1$ にそろえる。$|(1,-1,1)|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$ だから

$$\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1).$$

外積で一発で出す本解と同じ。$2$ つの垂直条件は $x,y,z$ の連立 $1$ 次方程式で、解くと自由度 $1$(向きが $1$ 本)残る。それを正規化し、$\pm$ の $2$ 通りをとる。外積を覚えていなくても確実にたどり着ける。