空間で垂直なベクトル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前半は内積の確認 — $\vec{a}\cdot \vec{b}=2-2+0=0$ で垂直。

後半の「両方に垂直なベクトル」は、未知の $(x,y,z)$ をおいて条件を式にする。

$$\vec{a}\cdot (x,y,z)=0,\vec{b}\cdot (x,y,z)=0$$

式 $2$ 本に未知数 $3$ つ — 解は $1$ つに決まらず、向きが決まって長さが自由(自由度 $1$)。どれか $1$ つ、たとえば $z=5$ と選んで連立を解けば $(-6,3,5)$ が得られる。

① 垂直を確認する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot 0=2-2+0=0$$

よって $\vec{a}\perp \vec{b}$。

② 両方に垂直なベクトル $(x,y,z)$ を求める。 $\vec{a}$ と垂直:$2x-y+3z=0$、$\vec{b}$ と垂直:$x+2y=0$。

$z=1$ とおく。$x+2y=0$ から $x=-2y$。$2(-2y)-y+3=0$、$-5y+3=0$、$y=\frac{3}{5}$、$x=-\frac{6}{5}$。整数にするため $5$ 倍して $(-6,3,5)$。

(確認:$(-6,3,5)\cdot \vec{a}=-12-3+15=0$、$\cdot \vec{b}=-6+6+0=0$。)

まとめ:空間で「$2$ ベクトルの両方に垂直」なベクトルは、$2$ つの内積 $=0$ の連立を解く。方向だけ決まればよいので、$1$ 文字($z=1$ 等)を固定して残りを求める。これは外積の方向にあたる。

発展 — 一歩先へ。 「平行でない $2$ 本に垂直な方向は、空間ではただ $1$ つ(±の向きを除いて)」— この事実が、平面の法線ベクトルの存在を保証している。平面は $2$ 本のベクトルで張られ、その両方に垂直な $1$ 方向が平面の「顔の向き」だ。

平面($2$ 次元)では $1$ 本に垂直な方向が $1$ つだったのに対し、空間では $1$ 本に垂直な方向は無数(平面をなす)で、$2$ 本に垂直でやっと $1$ つに絞れる — 「垂直の条件 $1$ つで自由度が $1$ 減る」という勘定は、次元が上がっても通用する見取り図である。

別解

「両方に垂直なベクトル」を一発で製造する公式 — 外積(クロス積)を紹介しよう。

$$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

見た目は複雑だが、規則は $1$ つ — 第 $1$ 成分は「$1$ を除いた $2,3$ 成分のたすき掛け」、以下 $2,3,1$ / $3,1,2$ と番号を巡回させるだけだ。

$\vec{a}=(2,-1,3)$、$\vec{b}=(1,2,0)$ で計算すると

$$\vec{a}\times \vec{b}=((-1)\cdot 0-3\cdot 2,3\cdot 1-2\cdot 0,2\cdot 2-(-1)\cdot 1)=(-6,3,5)$$

連立の答えと一致 — 検算すると $\vec{a}$ とも $\vec{b}$ とも内積 $0$ だ。

外積は高校の範囲外だが、「連立を解いた結果はいつもこの形になる」と知っておくと、答えの検算・平面の法線ベクトル探し・平行六面体の体積で強力な近道になる。平面のたすき掛け $a_1{b}_2-a_2{b}_1$ が、外積の第 $3$ 成分として再登場していることにも注目したい。