空間の2点間の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 点間の距離は、その $2$ 点を結ぶベクトルの大きさだ。

$$\mathrm{AB}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$$

まず、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を求める。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{B}-\mathrm{A}=(1-0,2-0,2-0)=(1,2,2)$$

($\mathrm{A}$ が原点なので、$\mathrm{B}$ の座標がそのままベクトルになる。)

その大きさを計算する。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

距離は $3$。

「$2$ 点間の距離」と「ベクトルの大きさ」は、同じものだ。

そして、この問題では $\mathrm{A}$ が原点なので、「原点からの距離」を求めていることになる。

原点からの距離が $3$ の点 — その全体は、半径 $3$ の球面をなす。

距離という概念から、球という図形が生まれる。

① $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を求める。 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{B}-\mathrm{A}=(1,2,2)$。

② 大きさを計算する。

$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

まとめ:$2$ 点間の距離は「$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の大きさ」= 座標の差の $2$ 乗和の平方根。空間版の距離公式で、$z$ 座標の差が加わる。$3$。

発展 — 一歩先へ。 「$2$ 点間の距離」を求める公式は、GPS の原理そのものだ。

あなたのスマホは、どうやって現在地を知るのか。

上空の人工衛星から、電波を受け取っている。

電波には、「発信時刻」の情報が入っている。

受信時刻との差から、電波が届くのにかかった時間が分かる。

$$(\text{距離})=(\text{光速})\times (\text{かかった時間})$$

これで、「その衛星から、どれくらい離れているか」が分かる。

衛星 $1$ 個からの距離が分かったとき、あなたはどこにいるか。

「衛星から距離 $r_1$」という条件を満たす点の集合 — 球面だ。

$$(x-a_1{)}^2+(y-b_1{)}^2+(z-c_1{)}^2=r_1^2$$

まだ、$1$ 点には決まらない。

衛星 $2$ 個なら?

$2$ つの球面の交わり — $1$ つの円になる。

まだ決まらない。

衛星 $3$ 個なら?

$3$ つの球面の交わり — $2$ 点に絞られる。

($1$ つは地球上、もう $1$ つは宇宙空間のあり得ない位置なので、実質的に決まる。)

だから、原理的には、衛星 $3$ 個で位置が分かる。

なぜ、実際には $4$ 個以上使うのか。

時計の誤差があるからだ。

スマホの時計は、衛星の原子時計ほど正確ではない。 わずかな時刻のズレが、距離の大きな誤差になる($1$ マイクロ秒のズレ $=$ $300$ m の誤差!)。

そこで、時刻のズレ $\Delta t$ も未知数として扱う。

未知数は $4$ つ($x$、$y$、$z$、$\Delta t$)。 だから、方程式も $4$ 本 — 衛星が $4$ 個必要になる。

そして、この連立方程式を解くのに使われるのが、まさに距離の公式だ。

$$\sqrt{(x-a_i{)}^2+(y-b_i{)}^2+(z-c_i{)}^2}=c\left(t_i-\Delta t\right)$$

さらに、相対性理論の補正まで入っている。

衛星は高速で動き(特殊相対論の効果で時間が遅れる)、地球の重力が弱い場所にある(一般相対論の効果で時間が速く進む)。

この $2$ つの効果を合わせると、衛星の時計は地上より $1$ 日に約 $38$ マイクロ秒進む。

補正しなければ、$1$ 日で $11$ km も誤差が出る。

GPS は、相対性理論を実用化した、最初の技術なのだ。

$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

この、三平方の定理を $3$ 次元に拡張しただけの公式。

それが、$2$ 万 km 上空の衛星と、あなたのポケットの中のスマホをつないでいる。

別解

「原点から距離 $3$」という条件を満たす点の集合を考える。

この問題の答えは $3$ だった。

では、原点から距離 $3$ の点は、$\mathrm{B}(1,2,2)$ だけだろうか。

もちろん、違う。無数にある。

いくつか挙げてみよう。

$$(3,0,0):\sqrt{9}=3✓$$ $$(0,3,0):\sqrt{9}=3✓$$ $$(2,2,1):\sqrt{4+4+1}=3✓$$ $$(-1,2,-2):\sqrt{1+4+4}=3✓$$

すべて、原点から距離 $3$ にある。

これらの点の全体は、何を作るか。

半径 $3$ の球面だ。

$$x^2+y^2+z^2=9$$

球面の方程式である。

この式は、「原点からの距離が $3$」という条件を、そのまま式にしただけ。

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=3$$

両辺を $2$ 乗すれば、上の式になる。

中心が原点でなければ?

中心 $(a,b,c)$、半径 $r$ の球面は

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$$

「中心からの距離が $r$」という条件そのままだ。

平面($2$ 次元)での円の方程式と、まったく同じ構造。

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

次元が $1$ つ上がると、円が球になる。

そして、$4$ 次元では「超球面」になる。

$$x^2+y^2+z^2+w^2=r^2$$

式は自然に拡張されるが、もはや誰にも図に描けない。

それでも、「距離が一定の点の集合」という意味は、変わらない。

さて、この球にまつわる、有名な計算を確認しておこう。

半径 $3$ の球の体積。

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times 27=36\pi \approx 113$$

表面積。

$$S=4\pi r^2=4\pi \times 9=36\pi \approx 113$$

同じ数($36\pi$)になった!

偶然だろうか。

$r=3$ のときだけ、体積と表面積の"数値"が一致する。

$$\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2⟹\frac{r}{3}=1⟹r=3$$

(もちろん、単位が違う(体積は $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$、表面積は $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$)ので、本質的な意味はない。数字の遊びだ。)

それでも、こういう小さな発見が、数学を面白くする。

距離という、いちばん基本的な量。

そこから、球という図形が生まれ、体積と表面積の公式が生まれる。