平行六面体の体積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 辺のベクトルを見ると $(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)$ — 互いに垂直で、各座標軸に沿っている。この平行六面体は、ただの直方体だ。

直方体の体積は縦 $\times$ 横 $\times$ 高さ

$$V=1\times 2\times 3=6$$

一般の(斜めの)平行六面体にはスカラー三重積 $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$ という道具があるが、直交する特別な場合は長さの積に退化する — まず配置を見て、簡単な形かどうか確かめるのが第一手である。

① $3$ 辺の関係を確かめる。 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ はそれぞれ $x,y,z$ 軸方向で、互いに垂直。

② 体積を計算する。 直交する $3$ 辺の平行六面体は直方体なので、体積 = 辺の長さの積。

$$V=|\vec{a}|\times |\vec{b}|\times |\vec{c}|=1\times 2\times 3=6$$

まとめ:$3$ 辺が直交する平行六面体は直方体で、体積 = 縦 × 横 × 高さ。一般の平行六面体は「スカラー三重積 $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$」で求まる。ここは軸方向なので単純に $1\times 2\times 3=6$。

発展 — 一歩先へ。 一般の $3$ 本 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ではスカラー三重積 $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})$ が符号付き体積を与える($3$ 次の行列式と同じもの)。今回のような対角配置では行列式が対角成分の積 $1\cdot 2\cdot 3$ になる — 直方体の体積公式は、行列式の最も簡単な場合だったのだ。

さらに、同じ $3$ 辺から作る四面体の体積は平行六面体の $\frac{1}{6}$($V=1$)。$\frac{1}{2}$(底面が三角形)$\times \frac{1}{3}$(錐)の由来ごと覚えておくと、四面体の体積問題が平行六面体経由で解けるようになる。

別解

この体積を「単位立方体の引き伸ばし」として見ると、体積と倍率の関係が身につく。

基本ベクトル $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ の作る単位立方体(体積 $1$)から出発する。$3$ 辺を

• $x$ 方向に $1$ 倍($\vec{a}=1\overrightarrow{e_1}$)
• $y$ 方向に $2$ 倍($\vec{b}=2\overrightarrow{e_2}$)
• $z$ 方向に $3$ 倍($\vec{c}=3\overrightarrow{e_3}$)

と伸ばすと、体積は倍率の積で

$$V=1\times (1\cdot 2\cdot 3)=6$$

「各方向に $k$ 倍すると体積は $k$ 倍ずつ掛かる」— 相似比 $k$ の立体の体積が $k^3$ 倍になるのは、$3$ 方向とも同じ $k$ で伸ばした特別な場合だ。

この「変形で体積がどう変わるか」という見方は、一般の平行六面体(斜めに歪めても、底面 $\times$ 高さが保たれれば体積不変 — カヴァリエリの原理)や、スカラー三重積が「$3$ 本のベクトルによる単位立方体の変形倍率」であることの理解につながる。体積は、長さの $3$ 方向分の掛け算 — 次元の感覚そのものである。