3点が一直線上にある条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 点が一直線上にある条件は、共通の点から見た $2$ 本のベクトルが平行であること。

$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{となる実数}t\text{がある}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,2,2)$ を計算すると

$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$

$t=2$ で成立 — $\mathrm{C}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ 方向へ $2$ 倍進んだ点で、$3$ 点は一直線上にある。空間では「たすき掛け $=0$」の平面用判定式がないので、実数倍の形で示すのが標準だ。

① $2$ つのベクトルを求める。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,1),\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,2,2)$$

② 実数倍の関係を確かめる。

$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,2,2)=2(1,1,1)=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の実数倍なので、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}//\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。$\mathrm{A}$ を共有するので $3$ 点は一直線上にある。

まとめ:$3$ 点が一直線上にあるかは「共通の点から引いた $2$ ベクトルが平行($=$ 実数倍)」で調べる。$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ なら、$\mathrm{C}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ 方向に $2$ 倍進んだ点で、一直線上だ。

発展 — 一歩先へ。 共線条件の兄貴分が共面条件(4 点が同一平面上): $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と $2$ 本で張れること。「$1$ 本で書ければ直線上、$2$ 本で書ければ平面上」— 張るのに必要な本数が、図形の次元を数えている。

原点から見た書き方 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$(係数の和が $1$)も同値な共線条件で、位置ベクトルの応用問題(交点の決定)で主役になる。今回の $t=2$ は $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ — 係数 $-1+2=1$ が確かに成り立っている。

別解

$3$ 点の座標をそのまま眺めると、等間隔の関係が見えてくる。

$$\mathrm{A}(0,0,0),\mathrm{B}(1,1,1),\mathrm{C}(2,2,2)$$

各成分が $0,1,2$ と等差で並ぶ — つまり $\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ のちょうど中点だ。実際

$$\frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}}{2}=\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,1,1)=\mathrm{B}$$

「$\mathrm{B}$ が線分 $\mathrm{AC}$ の中点(内分点)」なら、$\mathrm{B}$ は当然 $\mathrm{AC}$ 上 — $3$ 点は一直線上にある。

実数倍(本解)と分点(この別解)は、同じ事実の $2$ つの言い方だ。「$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$」を分点の言葉に翻訳すると「$\mathrm{B}$ は $\mathrm{AC}$ を $1:1$ に内分する」— 一般に $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の $t$ の値が、$3$ 点の並び順($0<t$ の内外、$t$ と $1$ の大小)まで教えてくれる。共線の証明では、$t$ を求めた後に「どの点が間にあるか」まで一言添えると、図の理解が伝わる答案になる。