空間の直線のベクトル方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線のベクトル方程式は、空間でも平面と同じ形

$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$$

「通る点 $+$ $t$ 倍の方向」。成分で書けば

$$\mathrm{P}=(1,0,0)+t(0,1,1)=(1,t,t)$$

$x$ 成分は方向に含まれないので $1$ のまま、$y$ と $z$ が同じ速さで動く。$t=2$ で $(1,2,2)$。

① ベクトル方程式を書く。

$$\vec{p}=(1,0,0)+t(0,1,1)=(1,t,t)$$

② $t=2$ を代入する。

$$(1,2,2)$$

まとめ:空間の直線も「通る点 + 方向ベクトルの実数倍」$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$。平面と同じ形で、成分が $3$ つになるだけ。$t$ を動かすと点が直線上を動く。$x$ 座標は $1$ で固定、$y,z$ が $t$ とともに動く。

発展 — 一歩先へ。 次元の勘定(方程式 $1$ 本 $=$ 自由度 $-1$)は空間図形の分類表になる。方程式 $0$ 本 $=$ 空間全体、$1$ 本 $=$ 平面(または球面などの曲面)、$2$ 本 $=$ 直線(または曲線)、$3$ 本 $=$ 点。「図形を式で書く」とは、自由度をいくつ、どう削るかの設計である。

$2$ 直線の位置関係も空間では豊かになる — 交わる・平行に加えて「ねじれの位置」(交わらず平行でもない)が現れる。$t$ と $s$ の連立が解を持つか、方向が平行か、の場合分けで判定する応用問題は、この媒介変数表示が主戦場だ。

別解

平面の直線は $t$ を消去すると $1$ 本の方程式になった。空間で同じことをすると、面白い事実が現れる。

$\mathrm{P}=(1,t,t)$ から $t$ を消すと、残る条件は

$$x=1\text{かつ}y=z$$

方程式が $2$ 本出てくる — $1$ 本では足りない。

理由は次元の勘定だ。空間は $3$ 次元、方程式 $1$ 本は自由度を $1$ つ減らす。$x=1$ だけなら「$x$ 座標が $1$ の点全体」— これは平面(2 次元)だ。$y=z$ も別の平面。直線($1$ 次元)まで絞るには、$3-1-1=1$ で $2$ 枚の平面の交わりとして表すしかない。

つまり空間の直線は「$2$ 枚の板の折り目」。$1$ 本の式で書ける平面の直線とは、ここが決定的に違う。ベクトル方程式 $\vec{a}+t\vec{d}$ が空間で重宝されるのは、この「$2$ 本の連立」を $1$ 行で書き切れるからである。