複素数平面 — 極形式・ド・モアブル・図形

複素数 $z=3+4i$ の絶対値 $|z|$ を求めよ。

複素数 $z=2+3i$ の共役複素数 $\bar{z}$ を求めよ。

複素数 $z=1+i$ を極形式 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ で表せ。ただし $0\leqq \theta <2\pi$ とする。

$z_1=2\left(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }\right)$、$z_2=3\left(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }\right)$ のとき、積 $z_1{z}_2$ を極形式で求めよ。

$(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }{)}^3$ を計算せよ。

複素数 $z=1+2i$ に $i$ を掛けた $iz$ を求めよ。また、これが $z$ をどう動かしたかを述べよ。

$z_1=1+2i$、$z_2=3-i$ のとき、$z_1+z_2$ を求めよ。

$z=3+4i$ のとき、$z\bar{z}$ を求めよ。

複素数平面上の $2$ 点 $z_1=1+i$、$z_2=4+5i$ の間の距離を求めよ。

複素数 $z=(k-2)+3i$ が純虚数となるような実数 $k$ の値を求めよ。

複素数 $z=2(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ })$ を $a+bi$ の形で表せ。

$z=3+4i$ のとき、$z+\bar{z}$ を求めよ。

$\frac{1+i}{1-i}$ を $a+bi$ の形で表せ。

複素数 $z=1+\sqrt{3}i$ を極形式で表せ。

$(1+i{)}^8$ を計算せよ。

方程式 $z^3=1$ の解をすべて求めよ。

複素数 $z=2+i$ を、原点のまわりに $90^{\circ }$ 回転した点を表す複素数を求めよ。

複素数 $z=2$(実数)を、原点のまわりに $60^{\circ }$ 回転した点を表す複素数を求めよ。

$|z-i|=1$ を満たす点 $z$ は、複素数平面上でどのような図形を描くか。また、点 $z=2i$ がこの図形上にあるかを調べよ。

$z=3+4i$ について、$z+\bar{z}$ と $z-\bar{z}$ を求めよ。

$(2+i)(3-i)$ を計算せよ。

$(1+i{)}^2$ を計算し、その結果を極形式でも表せ。

絶対値が $2$、偏角が $\frac{\pi }{6}$ である複素数 $z$ を $a+bi$ の形で求めよ。

複素数平面上の $3$ 点 $\mathrm{A}(0)$、$\mathrm{B}(1+i)$、$\mathrm{C}(2+2i)$ が一直線上にあることを示せ。

$(1+i{)}^{10}$ を計算せよ。

方程式 $z^6=1$ の解の個数と、それらが複素数平面上でどう並ぶかを述べよ。また、そのうち偏角が最小の正の解を求めよ。

$(\sqrt{3}+i{)}^3$ を計算せよ。

複素数平面上の点 $\mathrm{A}(0)$、$\mathrm{B}(2)$ を頂点とする正三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{C}$ を表す複素数を求めよ(ただし $\mathrm{C}$ は上半平面にあるとする)。

$|z|=1$($z\ne 0$)のとき、$z+\frac{1}{z}$ が実数であることを示せ。

複素数 $z=1+i$ を、点 $\alpha =i$ のまわりに $90^{\circ }$ 回転した点を表す複素数を求めよ。

$|z-1|=|z+1|$ を満たす点 $z$ は、複素数平面上でどのような図形を描くか。

ド・モアブルの定理を用いて、$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$ が成り立つことを示せ。

$(\sqrt{3}+i{)}^8$ を計算せよ。

方程式 $z^3=8i$ を解け。

複素数平面上で、点 $\beta =3+i$ を、点 $\alpha =1$ を中心として $90°$ 回転させた点 $w$ を求めよ。

複素数平面上で、$|z-3|=2|z|$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。

$|z|=1$ を満たす複素数 $z$ に対して、$z+\frac{1}{z}$ の取り得る値の範囲を求めよ。

複素数平面上の $2$ 点 $\alpha =1$、$\beta =1+i$ に対して、$3$ 点 $\alpha ,\beta ,\gamma$ が正三角形をなすような $\gamma$ をすべて求めよ。

複素数平面上の $3$ 点 $\alpha =1$、$\beta =2+i$、$\gamma =4+3i$ が一直線上にあるかどうかを、複素数を用いて判定せよ。

$z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$ は $1$ の $5$ 乗根の $1$ つである。$1+z+z^2+z^3+z^4$ の値を求めよ。

$n\ge 2$ とし、$\zeta =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ とする。$\prod _{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)=n$ を示せ。

$0<\theta <2\pi$ とする。$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos n\theta }{2^n}$ を求めよ。

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$ を複素数を用いて示せ。

また、これを利用して $65=5\times 13$ を $2$ つの平方の和で $2$ 通りに表せ。

複素数 $\alpha ,\beta$($|\alpha |<1$)と点列 $\{z_n\}$ を $z_{n+1}=\alpha z_n+\beta$ で定める。点 $z_n$ が近づく点(極限)を求めよ。

$\zeta =\cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}$ とする。$A=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4,B={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$ の値を求めよ。

複素数平面上で $|\alpha |=|\beta |=|\gamma |=1$ とする(三角形の3頂点が単位円上)。このとき、三角形の垂心が $\mathrm{H}=\alpha +\beta +\gamma$ で表されることを示せ。

$n$ を自然数とする。${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2n}\theta d\theta$ を求めよ。

$n\ge 2$ とし、$\zeta =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ とする。$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\zeta }^k}$ を求めよ。

相異なる3つの複素数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ について、次を示せ。

3点 $\alpha ,\beta ,\gamma$ が正三角形の3頂点である $⟺$ ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

$z$ が単位円 $|z|=1$ 上を動くとき($z\ne 1$)、$w=\frac{1+z}{1-z}$ が描く図形を求めよ。

$n$ を3以上の整数とし、${\zeta }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$($k=0,1,\dots ,n-1$)を1の $n$ 乗根とする。単位円上の任意の点 $z$($|z|=1$)に対して、次を示せ。

$$\sum _{k=0}^{n-1}|z-{\zeta }_k{|}^2=2n$$

複素数平面上で、原点を中心とする $60^{\circ }$ の回転を $f$、点 $1$ を中心とする $60^{\circ }$ の回転を $g$ とする(いずれも反時計回り)。

(1) 合成変換($f$ を行ってから $g$ を行う)は、ある点を中心とする $120^{\circ }$ の回転であることを示せ。

(2) その中心を表す複素数を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の各辺を1辺とする正三角形を、三角形の外側に3つ作り、それらの重心を ${\mathrm{N}}_1,{\mathrm{N}}_2,{\mathrm{N}}_3$ とする。三角形 ${\mathrm{N}}_1{\mathrm{N}}_2{\mathrm{N}}_3$ は正三角形であることを示せ。

(頂点を表す複素数を $\alpha ,\beta ,\gamma$(反時計回り)とし、$\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$ について、3点 $p,q,r$ が $p+\omega q+{\omega }^{2}r=0$ を満たせば正三角形(または3点が一致)となることは、証明して用いてよい。)

$\alpha =1+i,\beta =1+2i,\gamma =1+3i$ の偏角をそれぞれ ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$($0<{\theta }_k<\frac{\pi }{2}$)とする。積 $\alpha \beta \gamma$ を計算することにより、${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3$ の値を求めよ。

$z$ が円 $|z|=2$ 上を動くとき、$w=z+\frac{1}{z}$ が描く図形を求めよ。また、$|w|$ の最大値と最小値を求めよ。

$z_0=1$、$z_{n+1}=\frac{1+i}{2}{z}_n$($n=0,1,2,\dots$)で点列を定める。折れ線 $z_0{z}_1,z_1{z}_2,z_2{z}_3,\dots$ の長さの総和(無限和)を求めよ。