telvia演習ラボ

数学C

複素数平面 極形式・ド・モアブル・図形

複素数平面、極形式と回転、ド・モアブルの定理、複素数の表す図形を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 複素数の絶対値
  2. 共役複素数
  3. 極形式
  4. 極形式の積
  5. ド・モアブルの定理
  6. iを掛ける(90°回転)
  7. 複素数の和
  8. 絶対値の2乗と共役
  9. 2点間の距離
  10. 純虚数の条件
  11. 極形式から成分へ
  12. 共役の性質

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 複素数の除法
  2. 極形式(第1象限)
  3. 累乗(ド・モアブル)
  4. 1の3乗根
  5. 原点まわりの回転
  6. 60°回転
  7. 複素数と円
  8. 実部と共役
  9. 複素数の積
  10. 2乗と回転
  11. 絶対値と偏角から複素数
  12. 3点が一直線上にある条件

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 高次の累乗
  2. 1の6乗根
  3. 累乗(極形式)
  4. 正三角形をなす条件
  5. z + 1/z が実数となる条件
  6. 点のまわりの回転
  7. 複素数と軌跡(垂直二等分線)
  8. ド・モアブルと3倍角

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 極形式とド・モアブルの定理
  2. z³=8i を解く
  3. 点のまわりの回転
  4. 距離の比が一定な点の軌跡
  5. |z|=1 のときの z+1/z の範囲
  6. 正三角形をなす第3の頂点
  7. 3点が一直線上にある判定
  8. 1の5乗根の和

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 正n角形の対角線の積(1のn乗根と多項式)
  2. 余弦の無限級数(等比級数の実部)
  3. 2つの平方和で表す(複素数の絶対値と整数)
  4. 回転しながら縮む点列の行き先(複素数の漸化式)
  5. 1の7乗根のガウス和(周期3の和と2次方程式)
  6. 単位円に内接する三角形の垂心(複素数と幾何)
  7. 余弦の偶数乗の積分(複素数と二項定理)
  8. 1のn乗根と分数の和(対称式の妙技)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 正三角形の対称式による特徴づけ
  2. 単位円を直線にうつす変換
  3. 正n角形の頂点への距離の平方和
  4. 2つの回転の合成
  5. ナポレオンの定理
  6. 3つの偏角の和
  7. 円を楕円にうつす変換 z+1/z
  8. 縮小回転が描く螺旋の全長

複素数平面の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問