数学C / 複素数平面

正三角形の対称式による特徴づけ

最難関編正三角形対称式

問題

相異なる3つの複素数 $α, β, γ$ について、次を示せ。

3点 $α, β, γ$ が正三角形の3頂点である $⟺$ $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = α β + β γ + γ α$

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与式の両辺を2倍して移項すると、3つの「差の平方」の和にまとまらないか。実数なら平方和が0は各項0だが、複素数では違う — 和が0の3つの数の平方和が0になるとき、その3つはどんな配置か。

解答・解説

方針

等式は「差の平方和 (α−β)²+(β−γ)²+(γ−α)²=0」と同値(展開恒等式)。u=α−β などとおくと u+v+w=0 は常に成り立ち、条件は u²+v²+w²=0。2つから uv+vw+wu=0 も出て、u,v,w は t³=(定数) の3解 — 絶対値が等しい、すなわち3辺が等しい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 頂点そのものより辺のベクトル(差)で考える。示すべき等式は、展開の恒等式

$(α - β)^{2} + (β - γ)^{2} + (γ - α)^{2} = 2 (α^{2} + β^{2} + γ^{2}) - 2 (α β + β γ + γ α)$

によって「差の平方和が $0$ 」と同値だ。

そこで $u = α - β, v = β - γ, w = γ - α$ とおく。 $u + v + w = 0$ はいつでも成り立ち、条件は $u^{2} + v^{2} + w^{2} = 0$ 。この2つから $uv + v w + w u = 0$ も出て、 $u, v, w$ は 同じ3次方程式 $t^{3} = (定数)$ の3解 — つまり絶対値が等しい。3辺の長さが等しい、が結論になる。

重要

u + v + w = 0

かつ

u^{2} + v^{2} + w^{2} = 0

⟹

uv + v w + w u = 0

⟹

u, v, w

は

t^{3} = uv w

の3解(絶対値が等しい)

① 条件を差の式に直す。 上の恒等式から、与式 ⟺ $u^{2} + v^{2} + w^{2} = 0$ 。また $u + v + w = 0$ の平方から

$0 = (u + v + w)^{2} = u^{2} + v^{2} + w^{2} + 2 (uv + v w + w u)$

なので、与式のもとで $uv + v w + w u = 0$ も従う。

② 3乗根の配置を読む(⟸ の証明)。 $u, v, w$ を解にもつ3次方程式は、解と係数の関係から

$t^{3} - (u + v + w) t^{2} + (uv + v w + w u) t - uv w = t^{3} - uv w = 0$

すなわち $u, v, w$ は同じ数 $uv w$ の3つの3乗根。3乗根の絶対値はすべて $∣ uv w ∣^{1/3}$ で等しいから $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = ∣ w ∣$ — 3辺の長さが等しく、 $α, β, γ$ は正三角形の3頂点である( $α, β, γ$ が相異なるので $u, v, w \neq = 0$ 、三角形は退化しない)。

③ 逆(⟹)。 正三角形なら、辺 $v$ は辺 $u$ を $12 0^{\circ}$ 回転したもの: $ω = cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}$ として $v = ω u$ (向きが逆なら $ω^{2} u$ — 以下同様)。 $w = - u - v = - (1 + ω) u = ω^{2} u$ ( $1 + ω + ω^{2} = 0$ )だから

$u^{2} + v^{2} + w^{2} = u^{2} (1 + ω^{2} + ω^{4}) = u^{2} (1 + ω^{2} + ω) = 0$

よって与式が成り立つ。

まとめ: 「差の平方和 = 0」という複素数ならではの零 — 実数では潰れる条件が、複素数では同じ長さ・120°開きという形を許す。正三角形の判定式として、回転( $\pm 6 0^{\circ}$ )による定義と並ぶもう1つの顔だ。

発展 — 一歩先へ。 因数分解の2つの因子は「向き」を区別している: $α + ω β + ω^{2} γ = 0$ が一方の回り、 $α + ω^{2} β + ω γ = 0$ がもう一方の回りの正三角形。この判定式はナポレオンの定理(この単元の別問題)の証明でそのまま働く。また対称式の条件は $(α + β + γ)^{2} = 3 (α β + β γ + γ α)$ とも書き替えられ、「重心を原点にすると $α β + β γ + γ α = 0$ 」という座標系の選び方の話にもつながる。

答

証明(差 $u, v, w$ に直すと条件は $u^{2} + v^{2} + w^{2} = 0$ で、 $u + v + w = 0$ とあわせて $u, v, w$ が同じ数の3乗根になる)

別解

因数分解して「向きつき判定式」にほどく。 対称式は、1の3乗根 $ω$ で因数分解できる:

$α^{2} + β^{2} + γ^{2} - α β - β γ - γ α = (α + ω β + ω^{2} γ) (α + ω^{2} β + ω γ)$

(展開して $ω^{2} + ω = - 1$ 、 $ω^{3} = 1$ を使うと確かめられる。)よって条件は

$α + ω β + ω^{2} γ = 0 または α + ω^{2} β + ω γ = 0$

この2つの式は、それぞれ「時計回りの正三角形」「反時計回りの正三角形」の判定式にほかならない(たとえば前者は $γ - α = - ω^{2} (β - α)$ と変形でき、 $- ω^{2}$ は絶対値1・偏角 $6 0^{\circ}$ の回転因子 — 辺 $AB$ を $6 0^{\circ}$ 回すと辺 $AC$ になる、と言っている)。

3乗根の議論(本解)は「なぜ絶対値が揃うか」を、因数分解は「向きの情報まで込みの判定式」を与える。この判定式は次の問題(ナポレオンの定理)でそのまま主役になる — 1問で道具を鍛え、次の問題で使う連携だ。

ポイント

与式 ⟺ $(α - β)^{2} + (β - γ)^{2} + (γ - α)^{2} = 0$ 。
$u + v + w = 0$ と合わせて $u, v, w$ は $t^{3} = uv w$ の3解 → $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = ∣ w ∣$ 。
逆は $v = ω u$ の代入で $1 + ω + ω^{2} = 0$ 。

よくある間違い

複素数の「2乗の和が0」を実数の感覚で「各項が0」と誤読する(複素数では $u^{2} + v^{2} + w^{2} = 0$ でも $u, v, w \neq = 0$ があり得る — だからこそ正三角形が出る)。
$u + v + w = 0$ (差の和は必ず0)を書き忘れ、対称式の連立が閉じない。
⟸(正三角形なら等式)と ⟹(等式なら正三角形)の両向きを示すべきところ、片向きで終える。