数学C / 複素数平面

2つの回転の合成

最難関編回転不動点

問題

複素数平面上で、原点を中心とする $6 0^{\circ}$ の回転を $f$ 、点 $1$ を中心とする $6 0^{\circ}$ の回転を $g$ とする(いずれも反時計回り)。

(1) 合成変換( $f$ を行ってから $g$ を行う)は、ある点を中心とする $12 0^{\circ}$ の回転であることを示せ。

(2) その中心を表す複素数を求めよ。

ヒントを見る

回転を「1次式」として書くと、合成は代入1回。 $z$ の係数に何が起きるか — それが角の正体。中心は「合成で動かない点」として方程式を立てる。

解答・解説

方針

回転は z → ρ(z−c)+c(ρ=cos60°+isin60°)という1次式。合成すると z の係数は ρ·ρ=ρ² — 角は足されて120°。中心は不動点方程式 c=ρ²c+(定数)を解けば出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転は複素数では1次式だ: 中心 $c$ 、角 $θ$ の回転は $z \mapsto ρ (z - c) + c$ ( $ρ = cos θ + i sin θ$ )。

1次式と1次式の合成はまた1次式で、 $z$ の係数は回転因子の積 $ρ \cdot ρ = ρ^{2}$ 。角がちょうど足されて $12 0^{\circ}$ になる。

係数の絶対値が1(回転因子)である1次変換は、必ずどこかを中心とする回転。その中心は不動点 — $c = g (f (c))$ を解けば求まる。

重要回転の合成:

z

の係数(回転係数)は積になり、角は和になる。中心は不動点方程式で求める

① 合成を計算する((1))。 $ρ = cos 6 0^{\circ} + i sin 6 0^{\circ} = \frac{1 + 3 i}{2}$ とおくと $f (z) = ρ z$ 、 $g (z) = ρ (z - 1) + 1$ 。合成は

$g (f (z)) = ρ (ρ z - 1) + 1 = ρ^{2} z + (1 - ρ)$

$z$ の係数 $ρ^{2}$ は絶対値1・偏角 $12 0^{\circ}$ — よってこの変換は( $z$ の係数が1でないので平行移動ではなく)ある点を中心とする $12 0^{\circ}$ の回転である。

② 中心 = 不動点((2))。 中心 $c$ は $c = ρ^{2} c + (1 - ρ)$ を満たすから

$c = \frac{1 - ρ}{1 - ρ ^{2}} = \frac{1 - ρ}{( 1 - ρ ) ( 1 + ρ )} = \frac{1}{1 + ρ}$

③ 値を計算する。 $1 + ρ = \frac{3 + 3 i}{2}$ だから

$c = \frac{2}{3 + 3 i} = \frac{2 ( 3 - 3 i )}{( 3 ) ^{2} + ( 3 ) ^{2}} = \frac{6 - 2 3 i}{12} = \frac{3 - 3 i}{6}$

(実部 $\frac{1}{2}$ — 2つの中心 $0, 1$ の垂直二等分線上にあり、実軸の下側 $3 0^{\circ}$ の方向。検算として $g (f (c)) = c$ を代入で確かめられる。)

回転の中心 0, 1(黒)と、合成(120°回転)の中心 c=(3−√3i)/6(赤)。例の点 z(青)は f で z′ へ、g で z″ へ — c のまわりの120°回転と一致する

まとめ: 「回転 = 1次式、合成 = 係数の積(角の和)+ 不動点」— 変換の合成が複素数では掛け算と1次方程式に化ける。 $6 0^{\circ}$ と $6 0^{\circ}$ の中心が $0, 1$ のとき、新しい中心が2点から等距離のところに現れる幾何も、式 $c = \frac{1}{1 + ρ}$ が語っている。

発展 — 一歩先へ。 角の和が $36 0^{\circ}$ の倍数になる合成(たとえば $18 0^{\circ} + 18 0^{\circ}$ や $12 0^{\circ} + 24 0^{\circ}$ )では、 $z$ の係数が $1$ になって回転でなく平行移動が現れる(不動点が存在しない)。「回転の群」の中で平行移動が生まれる瞬間で、点対称2回=平行移動、という中学以来の事実もこの式 $ρ_{1} ρ_{2} = 1$ の特別な場合だ。

答

(1) 1次式の合成で回転係数が $ρ^{2}$ (証明) (2) $\frac{3 - 3 i}{6}$

別解

幾何の構成で中心を言い当てる(回転合成の作図)。 回転の合成の中心は、作図で先に求まる。

角 $2 a$ の回転(中心 $C_{1}$ )に続けて角 $2 b$ の回転(中心 $C_{2}$ )を行うと、合成は角 $2 a + 2 b$ の回転になり、その中心 P は線分 $C_{1} C_{2}$ を底辺に、底角 $a$ ( $C_{1}$ 側)と $b$ ( $C_{2}$ 側)の三角形の頂点にある(回転の向きの側に注意)。

本問は $2 a = 2 b = 6 0^{\circ}$ だから底角は $3 0^{\circ}, 3 0^{\circ}$ 。中心 $0$ と $1$ を結ぶ線分の(回転の向きから)下側に、底角 $3 0^{\circ}$ の二等辺三角形を建てると、頂点は

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{6}) = \frac{3 - 3 i}{6}$

(高さは $\frac{1}{2} tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{2 3} = \frac{3}{6}$ 。)不動点方程式(本解)の解と一致する。

1次式の合成(本解)は角の加法と中心を代数で一括処理する万能の道。作図は「中心がどこに生まれるか」を目で先に教えてくれる。両方持つと、答えの検算が互いにできる。

ポイント

$g (f (z)) = ρ^{2} z + (1 - ρ)$ — 角は足されて120°。
不動点 $c = \frac{1 - ρ}{1 - ρ ^{2}} = \frac{1}{1 + ρ}$ 。
$c = \frac{3 - 3 i}{6}$ (実部 $\frac{1}{2}$ 、2中心から等距離)。

よくある間違い

回転の式を $z \mapsto ρ z + c$ と書いてしまう(中心 $c$ の回転は $ρ (z - c) + c$ 。中心を引いて回して戻す)。
合成の順序を逆にする( $f$ してから $g$ は $g (f (z))$ 。1次式の代入順で中心が変わる)。
不動点方程式 $c = ρ^{2} c + (定数)$ を解くとき、 $1 - ρ^{2}$ で割る計算( $ρ^{2} = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ )を焦って誤る。