回転しながら縮む点列の行き先(複素数の漸化式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸化式 $z_{n+1}=\alpha z_n+\beta$ は、複素数版の「回転しながら縮小し、ずらす」変換。もし極限があれば、それは動かない点(不動点)$p$。

不動点は $p=\alpha p+\beta$、すなわち $p=\frac{\beta }{1-\alpha }$。

不動点を引くと $z_n-p=\alpha (z_{n-1}-p)$ という等比型になる。$z_n-p={\alpha }^n(z_0-p)$ で、$|\alpha |<1$ だから ${\alpha }^n\to 0$、$z_n\to p$。

① 不動点を求める。 極限があるとすれば不動点 $p$。$p=\alpha p+\beta$ より $(1-\alpha )p=\beta$、$\alpha \ne 1$($|\alpha |<1$ だから)なので $$p=\frac{\beta }{1-\alpha }.$$ ② ずれを等比数列にする。 漸化式から $p=\alpha p+\beta$ を引くと $$z_{n+1}-p=\alpha (z_n-p).$$ よって $z_n-p={\alpha }^n(z_0-p)$。

③ 極限をとる。 $|z_n-p|=|\alpha {|}^n|z_0-p|$。$|\alpha |<1$ より $|\alpha {|}^n\to 0$ だから $z_n\to p$。すなわち $$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=\frac{\beta }{1-\alpha }.$$

まとめ 1次変換 $z\mapsto \alpha z+\beta$ の点列は、不動点 $p=\frac{\beta }{1-\alpha }$ を基準にすると等比数列 $z_n-p={\alpha }^n(z_0-p)$。$|\alpha |<1$ なら渦を巻いて $p$ に収束する。複素数の漸化式・回転・極限の融合。

発展 — 一歩先へ。 $|\alpha |<1$ は縮小(1点に収束)、$|\alpha |=1$ は不動点のまわりを回り続ける(収束しない)、$|\alpha |>1$ は発散。同じ漸化式 $z_{n+1}=\alpha z_n+\beta$ が、$|\alpha |$ の値だけで運命が分かれる。複数の縮小変換を組み合わせると、シダの葉やコッホ曲線のようなフラクタル(自己相似図形)が描ける — 反復関数系の理論だ。

別解

別解 — 図形的に「回転縮小の中心」を見る(得意な人向けの視点)。 $z_{n+1}=\alpha z_n+\beta$ という変換は、複素数 $\alpha$ を掛ける(=角 $\arg \alpha$ だけ回転し、$|\alpha |$ 倍に縮小)して $\beta$ 平行移動する“相似変換”だ。$|\alpha |<1$ なら縮小。

縮小変換には、動かない中心(不動点)がただ $1$ つある。各点はその中心に向かって、回転しながららせん状に吸い込まれていく。だから極限は不動点 $p$。

不動点は「変換しても動かない点」$p=\alpha p+\beta$ を解いて $p=\frac{\beta }{1-\alpha }$。

代数的に $z_n-p={\alpha }^n(z_0-p)$ とやる(本解)のと同じだが、「縮小相似には吸い込む中心が $1$ つ」という図形のイメージをもつと、$|\alpha |=1$(縮小しない=中心のまわりを回り続ける)や $|\alpha |>1$(発散)の場合も直感的に判断できる。フラクタル(自己相似図形)を描く反復関数系の基礎でもある。