正三角形をなす条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正三角形の頂点 $\mathrm{C}$ は、$\mathrm{B}$ を $\mathrm{A}$ のまわりに $60^{\circ }$ 回転した点だ。

回転は複素数の掛け算で書ける。$\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$($\alpha ,\beta ,\gamma$ は各点の複素数)。

「正三角形は $1$ 辺を $60^{\circ }$ 回して作る」。回転を図形に使う、この発想が核になる。

① 回転で $\mathrm{C}$ を作る。 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{B}$ を $\mathrm{A}(=$原点$)$ のまわりに $60^{\circ }$ 回転した点(上半平面)。

$$\mathrm{C}-\mathrm{A}=(\mathrm{B}-\mathrm{A})(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$$

② 値を代入する。 $\mathrm{A}=0$、$\mathrm{B}=2$。

$$\mathrm{C}=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=1+\sqrt{3}i$$

まとめ:正三角形は「$1$ 辺を頂点のまわりに $60^{\circ }$ 回転」で作れる。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を $\mathrm{A}$ を中心に $60^{\circ }$ 回すと $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。複素数の回転($(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$ を掛ける)がそのまま使える。図形問題に複素数が効く好例だ。

発展 — 一歩先へ。 正三角形は「中心がすべて $1$ 点に集まる」唯一の三角形だ。重心・外心・内心・垂心という $4$ つの中心が、正三角形では完全に一致する。

複素数平面では重心が $\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}$ と書ける。本問の $3$ 頂点 $0,2,1+\sqrt{3}i$ で計算すると $\frac{3+\sqrt{3}i}{3}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}i$。一方、$3$ 頂点から等距離な点(外心)を $x=1$ 上で探すと、同じ $1+\frac{\sqrt{3}}{3}i$ に行き着く。

三角形が正三角形からくずれると、重心と外心は離れ、垂心も加えた $3$ 点が $1$ 本の直線(オイラー線)の上に並ぶ。中心たちの「散らばり方」が、三角形の対称性の高さを測るものさしになっている。

別解

別解 — 回転を使わず、距離の条件を式にする(苦手な人向けのルート)。 回転の公式を思い出せなくても、正三角形の「$3$ 辺が等しい」を座標の式にすれば $\mathrm{C}$ が出る。

$\mathrm{C}=x+yi$ とおく。$\mathrm{A}=0,\mathrm{B}=2$ から $|\mathrm{CA}|=|\mathrm{CB}|=2$。$2$ 乗して

$$x^2+y^2=4,(x-2{)}^2+y^2=4$$

$2$ 式を引くと $x^2-(x-2{)}^2=0$、すなわち $4x-4=0$ で $x=1$。これを上の式に戻すと $1+y^2=4$、$y^2=3$。

$\mathrm{C}$ は上半平面だから $y=\sqrt{3}$($y>0$)。よって

$$\mathrm{C}=1+\sqrt{3}i$$

$60^{\circ }$ 回転で作る本解と同じ答え。「等距離」を $2$ 乗して引き算するだけで、頂点の座標が定まる。$x$ が中点の $1$ に決まるのは、正三角形が底辺の垂直二等分線上に頂点をもつことの現れだ。