円を楕円にうつす変換 z+1/z

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円周上の $z$ は極形式が便利: $z=2(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおくと

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}(\cos \theta -i\sin \theta )$$

(逆数は「絶対値が逆数、偏角が符号反転」。)足すと実部と虚部で係数の増減が逆になり

$$x=\frac{5}{2}\cos \theta ,y=\frac{3}{2}\sin \theta$$

これは楕円の媒介変数表示そのもの。$|w|$ の最大最小は、$|w{|}^2$ が ${\cos }^2\theta$ の1次式になることから、軸の端で決まる。

① 媒介変数表示を作る。

$$w=2(\cos \theta +i\sin \theta )+\frac{1}{2}(\cos \theta -i\sin \theta )=\frac{5}{2}\cos \theta +\frac{3}{2}i\sin \theta$$

② 曲線を特定する。 $x=\frac{5}{2}\cos \theta ,y=\frac{3}{2}\sin \theta$ から $\cos \theta ,\sin \theta$ を消去して

$$\frac{x^2}{(5/2{)}^2}+\frac{y^2}{(3/2{)}^2}=1$$

— 長半径 $\frac{5}{2}$(実軸方向)、短半径 $\frac{3}{2}$ の楕円全体($\theta$ が1周すると楕円も1周)。

③ $|w|$ の最大最小。

$$|w{|}^2=\frac{25}{4}{\cos }^2\theta +\frac{9}{4}{\sin }^2\theta =\frac{9}{4}+4{\cos }^2\theta$$

${\cos }^2\theta \in [0,1]$ より $|w{|}^2\in \left[\frac{9}{4},\frac{25}{4}\right]$。よって最大値 $\frac{5}{2}$($\theta =0,\pi$、$w=\pm \frac{5}{2}$)、最小値 $\frac{3}{2}$($\theta =\pm \frac{\pi }{2}$、$w=\pm \frac{3}{2}i$)。

まとめ: $z+\frac{1}{z}$ は「半径 $r$ の円 → 半長軸 $r+\frac{1}{r}$・半短軸 $r-\frac{1}{r}$ の楕円」— $r=1$ では楕円が潰れて実軸の線分 $[-2,2]$ になる(基準の応用問題でおなじみの範囲)。円の半径を動かすと楕円の一族が生まれる、変換の観点で眺めておきたい。

発展 — 一歩先へ。 円の半径 $r$ を一般にすると、$w=z+\frac{1}{z}$ の像は長半径 $r+\frac{1}{r}$・短半径 $\left|r-\frac{1}{r}\right|$ の楕円で、${\left(r+\frac{1}{r}\right)}^2-{\left(r-\frac{1}{r}\right)}^2=4$ から焦点はいつも $\pm 2$(共焦点の楕円の族)。$r=1$ では線分 $[-2,2]$ につぶれる。この写像(ジューコフスキー変換)は、円を翼の断面に移す変換として航空力学の古典になっている。

別解

共役で $|w{|}^2$ を直接計算する(楕円を経由しない最大最小)。 $|w|$ だけが目的なら、共役の展開で一気に出る。

$$|w{|}^2=\left(z+\frac{1}{z}\right)\overline{\left(z+\frac{1}{z}\right)}=|z{|}^2+\frac{1}{|z{|}^2}+\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}$$

$|z|=2$ より最初の2項は $4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$。残りは $\frac{z}{\overline{z}}=\cos 2\theta +i\sin 2\theta$ とその共役の和で $2\cos 2\theta$。よって

$$|w{|}^2=\frac{17}{4}+2\cos 2\theta$$

最大は $\cos 2\theta =1$ で $\frac{25}{4}$、最小は $\cos 2\theta =-1$ で $\frac{9}{4}$ — $|w|$ の最大 $\frac{5}{2}$・最小 $\frac{3}{2}$ が、楕円を描かずに読めた(最大は実軸上 $\theta =0,\pi$、最小は虚軸上)。

媒介変数表示(本解)は「図形の正体(楕円)」まで教える完全版、共役の直接計算は「大きさだけ欲しい」ときの最短路。目的に応じて武器を選べるようになると強い。