累乗(ド・モアブル)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $8$ 乗を展開でやるのは無謀 — 累乗は極形式 $+$ ド・モアブルの定理が本線だ。

$$1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$$

ド・モアブルで「絶対値は $8$ 乗、偏角は $8$ 倍」。

$$(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos 360^{\circ }+i\sin 360^{\circ })=16\cdot 1=16$$

偏角 $360^{\circ }$ はちょうど $1$ 周 — 実軸の正の向きに戻ってきて、答えは実数になる。

① 極形式にする。 $1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$。

② ド・モアブルを使う。 絶対値は $8$ 乗、偏角は $8$ 倍。

$$(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos (45^{\circ }\times 8)+i\sin (45^{\circ }\times 8))=16(\cos 360^{\circ }+i\sin 360^{\circ })$$

③ 計算する。 $\cos 360^{\circ }=1$、$\sin 360^{\circ }=0$。$(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$。

$$=16(1+0)=16$$

まとめ:複素数の高い累乗は「極形式にしてド・モアブル」。$(1+i{)}^8$ を直接展開すると大変だが、偏角 $45^{\circ }$ を $8$ 倍して $360^{\circ }$(一周)になり、実数 $16$。極形式の威力が分かる問題だ。

発展 — 一歩先へ。 ド・モアブルの絵で見ると、$(1+i{)}^n$ は「$45^{\circ }$ ずつ回りながら $\sqrt{2}$ 倍ずつ膨らむ螺旋」の $n$ 歩目。$8$ 歩でちょうど $1$ 周 $360^{\circ }$ — $8$ 乗が実数になるのは、$45^{\circ }\times 8=360^{\circ }$ という回転の帳尻だ。$(1+i{)}^4=-4$($180^{\circ }$ で負の実数)、$(1+i{)}^{12}=-64$ — 実数になる周期 $4$($n$ 乗が $90^{\circ }$ の倍数)も螺旋の絵から読める。

$2$ 乗の階段(二進累乗法)は、コンピュータが巨大なべき乗を計算する標準アルゴリズムでもある。$n$ 乗に掛け算 $n$ 回でなく約 ${\log }_{2}n$ 回 — 暗号(べき剰余)の実装を支える考え方が、この $2$ 行の計算に入っている。

別解

極形式を使わず、$2$ 乗の階段で登る代数ルートもある。

まず $2$ 乗 — これは軽い展開だ。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$$

$8$ 乗は「$2$ 乗の $4$ 乗」だから

$$(1+i{)}^8={\left\{(1+i{)}^2\right\}}^4=(2i{)}^4=2^4{i}^4=16\cdot 1=16$$

($i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1$。)$2$ 行で終わり — ド・モアブルと同じ答えだ。

$1+i$ は「$2$ 乗すると $2i$ という簡単な数になる」特別な複素数で、この階段は $(1+i{)}^{2024}$ のような巨大な指数でも通用する($=(2i{)}^{1012}=2^{1012}{i}^{1012}$、あとは $i$ の周期 $4$ で処理)。

指数を「$2$ 乗のかたまり」に割ってから登る — 極形式が使えない場面(多項式の計算の途中など)でも動く、覚えておきたい迂回路である。