正n角形の頂点への距離の平方和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 距離の平方は、複素数では共役で開くのが鉄則だ:

$$|z-{\zeta }_k{|}^2=(z-{\zeta }_k)(\overline{z}-\overline{{\zeta }_k})=|z{|}^2+|{\zeta }_k{|}^2-z\overline{{\zeta }_k}-\overline{z}{\zeta }_k$$

$|z|=|{\zeta }_k|=1$ だから、最初の2項は合わせて $2$。

和をとると、交差項には $\sum \overline{{\zeta }_k}$ と $\sum {\zeta }_k$ が現れる。1の $n$ 乗根の総和は $0$ — 交差項は丸ごと消え、$2$ が $n$ 個残って $2n$。

① 展開する。

$$\sum _{k=0}^{n-1}|z-{\zeta }_k{|}^2=\sum _{k=0}^{n-1}\left(|z{|}^2+|{\zeta }_k{|}^2\right)-z\sum _{k=0}^{n-1}\overline{{\zeta }_k}-\overline{z}\sum _{k=0}^{n-1}{\zeta }_k$$

② 各部分を評価する。 $|z|=|{\zeta }_k|=1$ より第1の和は $2n$。また $\sum {\zeta }_k=0$ で、共役の和も $\overline{\sum {\zeta }_k}=\overline{0}=0$。よって交差項は消え

$$\sum _{k=0}^{n-1}|z-{\zeta }_k{|}^2=2n$$

③ 吟味。 値が $z$ の位置によらない — 正 $n$ 角形の頂点たちは、円周上のどの点から見ても「距離の平方の合計」が同じになるほど対称に配られている。なお $z$ が円上になくても同じ計算で $\sum =n(1+|z{|}^2)$ と一般化できる。

まとめ: 「距離の平方は共役で開く」+「根の和は0」— 複素数平面の距離の問題の黄金パターン。展開 → 対称性で交差項が消える、という流れは、重心や慣性モーメントの計算にも通じる普遍的な設計だ。

発展 — 一歩先へ。 重心分解の式は統計の「分散の分解」と同一で、$2n$ の内訳($n|z-G{|}^2$ と 散らばり $n$)まで教えてくれる。さらに同じ計算で $\sum |z-{\zeta }_k{|}^2$ は $|z|=r$ なら $n(r^2+1)$ — 円の半径を変えても交差項は現れない。「対称な点配置は、和の計算で交差項を殺す」という設計は、正多角形がらみの和の全部に効く。

別解

重心で分解する(ベクトルの公式の再利用)。 平面ベクトルで学ぶ分解公式(ライプニッツの公式)を複素数で使う。$n$ 点 ${\zeta }_k$ の重心を $G$ とすると、任意の点 $z$ に対して

$$\sum _k|z-{\zeta }_k{|}^2=n|z-G{|}^2+\sum _k|G-{\zeta }_k{|}^2$$

(「点までの平方和 = 重心までの平方和 + 重心まわりの散らばり」— 統計の分散の分解と同じ式だ。)

1の $n$ 乗根の重心は $G=\frac{1}{n}\sum {\zeta }_k=0$(和が0)。よって

$$\sum _k|z-{\zeta }_k{|}^2=n|z{|}^2+\sum _k|{\zeta }_k{|}^2=n\cdot 1+n\cdot 1=2n$$

共役の展開(本解)は自己完結の計算、重心分解は「$2n$ の内訳は $n$(点の位置)$+n$(頂点の散らばり)」という意味を教えてくれる。$|z|=r$ に一般化すれば和は $n(r^2+1)$ — 単位円上に限らず一瞬で読める。