縮小回転が描く螺旋の全長

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 掛ける数 $q=\frac{1+i}{2}$ の正体を先に見る: $|q|=\frac{1}{\sqrt{2}}$、偏角 $45^{\circ }$ — 「$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍して $45^{\circ }$ 回る」縮小回転だ。点列は原点へ渦を巻いて落ちていく。

折れ線の各辺の長さは

$$|z_{n+1}-z_n|=|z_n(q-1)|=|z_n||q-1|$$

$|z_n|=|q{|}^n$ は等比数列だから、辺の長さも等比数列(公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$)。総和は無限等比級数で閉じる。

① 部品を測る。

$$|q|=\left|\frac{1+i}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}},|q-1|=\left|\frac{-1+i}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$|q|<1$ だから $z_n=q^n\to 0$ — 螺旋は原点に収束する。

② 辺の長さの等比性。

$$L_n=|z_{n+1}-z_n|=|z_n||q-1|={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

初項 $L_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$、公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の等比数列。

③ 総和。

$$\sum _{n=0}^{\infty }{L}_n=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=\sqrt{2}+1$$

まとめ: 「縮小回転の点列 → 辺長の等比 → 無限級数」。無限に折れ曲がり無限に回転する螺旋の全長が、有限の $\sqrt{2}+1$ にきっちり収まる — 等比のちからと、最後の有理化の1手までが見どころだ。

発展 — 一歩先へ。 この螺旋は「対数螺旋」の離散版で、どの1歩も前の1歩と同じ角度・同じ縮小率 — だから全体と部分が相似になる。自己相似の方程式 $L=(\text{1辺})+|q|L$ は、コッホ曲線など、フラクタルの長さ・面積の計算の基本形。オウムガイの殻や台風の渦がこの形になるのは、「成長のルールが場所によらず一定」という同じ理由による。

別解

自己相似で方程式を立てる(等比級数の公式を使わない)。 この螺旋には、みごとな自己相似がある。折れ線全体を $q$ 倍すると、最初の1辺を除いた残りの折れ線にぴったり重なる($z_n$ たちが $z_{n+1}$ たちに移るから)。

$q$ 倍は長さを $|q|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍にするので、全長 $L$ について

$$L=\underset{\text{最初の1辺}}{\underbrace{|z_1-z_0|}}+\underset{\text{残り}}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}L}}$$

最初の辺は $|q-1|=\left|\frac{-1+i}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$。方程式を解いて

$$L\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹L=\frac{\sqrt{2}/2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$$

等比級数の公式(本解)は項別の足し算、自己相似は「全体=1辺+縮小コピー」という構造の方程式。フラクタル図形(コッホ曲線など)の長さの計算と同じ発想で、無限の和が1本の1次方程式に化ける快感がある。