数学C / 複素数平面

ド・モアブルと3倍角

★★★ 応用ド・モアブル

問題

ド・モアブルの定理を用いて、 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ が成り立つことを示せ。

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同じ式を $2$ 通りで計算する構図 — 定理で一気に $3$ 倍角へ/二項展開で地道に。両者の実部が等しい、という比較から目標の式が生まれる。

解答・解説

方針

$(cos θ + i sin θ)^{3}$ を、ド・モアブル(左辺 = $cos 3 θ + i sin 3 θ$ )と二項展開(右辺)の $2$ 通りで計算し、実部どうしを比べる。 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ を使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(cos θ + i sin θ)^{3}$ を、 $2$ 通りに計算してみる。

$1$ つはド・モアブルで、 $cos 3 θ + i sin 3 θ$ 。もう $1$ つは二項展開で、 $cos θ$ と $sin θ$ の式だ。

同じ数を $2$ 通りに書いたのだから、実部どうしが等しい。ここから $3$ 倍角の公式が出る。「 $2$ 通りに計算して実部・虚部を比べ、恒等式を導く」という発想が核になる。

定理ド・モアブル

(cos θ + i sin θ)^{3} = cos 3 θ + i sin 3 θ

。展開して実部を比較

① ド・モアブルで左辺を書く。

$(cos θ + i sin θ)^{3} = cos 3 θ + i sin 3 θ$

② 二項展開する。 $(cos θ + i sin θ)^{3}$ を展開( $i^{2} = - 1$ 、 $i^{3} = - i$ )。

$= cos^{3} θ + 3 cos^{2} θ (i sin θ) + 3 cos θ (i sin θ)^{2} + (i sin θ)^{3}$

$= cos^{3} θ + 3 i cos^{2} θ sin θ - 3 cos θ sin^{2} θ - i sin^{3} θ$

③ 実部どうしを比べる。 ①の実部 $cos 3 θ$ = ②の実部 $cos^{3} θ - 3 cos θ sin^{2} θ$ 。

$cos 3 θ = cos^{3} θ - 3 cos θ sin^{2} θ$

④ $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ を代入する。

$= cos^{3} θ - 3 cos θ (1 - cos^{2} θ) = cos^{3} θ - 3 cos θ + 3 cos^{3} θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

まとめ:ド・モアブルの定理は「 $3$ 倍角の公式を導く」道具にもなる。 $(cos θ + i sin θ)^{3}$ を $2$ 通りに計算して実部を比べると $cos 3 θ$ の式が、虚部を比べると $sin 3 θ$ の式が出る。三角関数と複素数の深いつながりだ。

発展 — 一歩先へ。 同じ展開の虚部を比べると、もう $1$ つの公式が手に入る。 $sin 3 θ = 3 cos^{2} θ sin θ - sin^{3} θ$ に $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ を入れると、 $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ が出る。

つまり $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ$ という $1$ 本の等式が、実部で $cos n θ$ 、虚部で $sin n θ$ の $n$ 倍角公式を同時に生む。 $n$ を $2, 3, 4, \dots$ と変えれば、いくらでも作れる。

さらに実部と虚部の比をとれば $tan n θ$ の公式も出る。三角関数の多くの公式が、複素数の累乗というたった $1$ つの操作に凝縮されている。

答

(cosθ+isinθ)³ を展開して実部を比べる

別解

別解 — 複素数を使わず、加法定理だけで導く(苦手な人向けのルート)。 ド・モアブルが不安でも、 $3 θ = 2 θ + θ$ とみて加法定理を重ねれば同じ式が出る。

$cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ$

倍角の公式 $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ 、 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ を代入する。

$= (2 cos^{2} θ - 1) cos θ - 2 sin θ cos θ \cdot sin θ = 2 cos^{3} θ - cos θ - 2 cos θ sin^{2} θ$

最後に $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ を入れる。

$= 2 cos^{3} θ - cos θ - 2 cos θ (1 - cos^{2} θ) = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

複素数を経由する本解と同じ $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ 。加法定理と倍角の公式だけでも、地道に足せば同じ結論にたどり着く。

ポイント

$(cos θ + i sin θ)^{3}$ を $2$ 通りに計算。
実部比較 → $cos 3 θ$ 、虚部比較 → $sin 3 θ$ 。

よくある間違い

実部だけ比べればよいのに、虚部まで等号でつないで式を混乱させる。
$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ の代入を忘れ、 $cos θ$ と $sin θ$ が混ざった式で止まる。
二項展開で $i^{2} = - 1$ 、 $i^{3} = - i$ の処理を誤り、実部と虚部の振り分けを間違える。