z + 1/z が実数となる条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|z|=1$ という条件から、$z\bar{z}=|z{|}^2=1$、つまり $\frac{1}{z}=\bar{z}$ が出る。

すると $z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}$ となる。共役どうしの和は虚部が打ち消し合うので、$2\mathrm{Re}(z)$ で実数だ。

「単位円上では逆数が共役に一致する」。この性質を見抜くことが発想の核になる。

① $\frac{1}{z}=\bar{z}$ を導く。 $|z|=1$ より $z\bar{z}=|z{|}^2=1$。両辺を $z$ で割ると

$$\bar{z}=\frac{1}{z}$$

② $z+\frac{1}{z}$ を書きかえる。

$$z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$

③ 結論。 $2\mathrm{Re}(z)$ は実数(実部の $2$ 倍)。よって $z+\frac{1}{z}$ は実数。

まとめ:$|z|=1$(単位円上)なら $\frac{1}{z}=\bar{z}$ という美しい関係が使える。$z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$ で実数。$z=\cos \theta +i\sin \theta$ なら $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$ という具体形にもなる。

発展 — 一歩先へ。 $|z|=1$ のとき $\frac{1}{z}=\bar{z}$ は、$z$ を実軸に関して折り返した鏡像だ。だから $z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}$ は、点とその鏡像を足したもので、虚部が相殺して実軸上に落ちる。実数になるのは図で見ても当たり前だ。

単位円の外や内側では話が変わる。一般には $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$ で、$\frac{1}{z}$ は「原点からの距離を逆数にし(単位円に関する反転)、さらに実軸で折り返す」操作にあたる。

単位円 $|z|=1$ の上では、距離の逆数化(反転)は何もしない($|z{|}^2=1$ で各点が動かない)。だから $\frac{1}{z}$ には実軸での折り返し=共役だけが残り、$\frac{1}{z}=\bar{z}$ が成り立つ。$z+\frac{1}{z}$ が実数になる背景には、この対称性がある。

別解

別解 — 「共役を取っても変わらない」から実数を示す(得意な人向けの視点)。 ある複素数 $w$ が実数であることは、$w=\bar{w}$(共役が自分自身に等しい)と同じだ。この判定を使う。

$w=z+\frac{1}{z}$ の共役をとる。共役は和と商を保つから

$$\bar{w}=\overline{z+\frac{1}{z}}=\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}$$

ここで $|z|=1$ より $\bar{z}=\frac{1}{z}$、また $\frac{1}{\bar{z}}=z$。代入すると

$$\bar{w}=\frac{1}{z}+z=w$$

$w=\bar{w}$ が成り立つので、$w=z+\frac{1}{z}$ は実数だ。

$2\mathrm{Re}(z)$ に書きかえる本解と同じ結論だが、値を計算せず「共役で不変」という一点だけで実数性が言える。実数とは実軸上の点、すなわち鏡像(共役)が自分と一致する点だ、という見方が効く。