絶対値の2乗と共役

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $z\bar{z}$ — 自分自身と、その共役の積だ。

$$z=3+4i,\bar{z}=3-4i$$

この $2$ つを掛ける。

$$z\bar{z}=(3+4i)(3-4i)$$

和と差の積の形をしている。

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

当てはめる。

$$=3^2-(4i{)}^2=9-16i^2$$

$i^2=-1$ を使う。

$$=9-16\times (-1)=9+16=25$$

答えは $25$。

注目すべきは、$i$ が完全に消えたことだ。

結果は、実数。しかも $25=5^2=|z{|}^2$。

$$\boxed{z\bar{z}=|z{|}^2}$$

「共役を掛けると、虚数が消えて、絶対値の $2$ 乗になる」

この性質が、複素数の計算のあらゆる場面で使われる。

$(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2+b^2$。

$$z\bar{z}=(3+4i)(3-4i)=3^2+4^2=9+16=25$$

これは $|z{|}^2=5^2=25$ に等しい。

まとめ:$z\bar{z}=|z{|}^2$ は複素数の超重要公式。共役をかけると虚部が消えて、絶対値の $2$ 乗(実数)になる。分母の実数化(割り算)でも活躍する関係だ。

発展 — 一歩先へ。 $|zw|=|z||w|$(積の絶対値は、絶対値の積)

この式を、成分で書き下すと、思わぬ結果が現れる。

$$z=a+bi,w=c+di$$

$$zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

絶対値の $2$ 乗を、両辺で計算する。

$$|zw{|}^2=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$$

$$|z{|}^2|w{|}^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$

この $2$ つが等しい。

$$\boxed{(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2}$$

ブラーマグプタ・フィボナッチの恒等式。

この式が意味すること。

「$2$ つの平方数の和」どうしを掛けると、また「$2$ つの平方数の和」になる。

具体例で見よう。

$$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2$$

この $2$ つを掛ける。

$$5\times 13=65$$

恒等式より、$65$ も $2$ つの平方数の和で書けるはずだ。

$$a=1,b=2,c=2,d=3$$

$$(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(2-6{)}^2+(3+4{)}^2=16+49=65✓$$

$$65=4^2+7^2$$

確かに!

しかも、$b$ と $d$ の役割を入れかえると、別の表し方も出る。

$$65=1^2+8^2=1+64✓$$

$65$ は、$2$ 通りに「平方数の和」で書ける。

この事実は、整数論の深い問題につながっている。

「どんな整数が、$2$ つの平方数の和で書けるか?」

フェルマーの $2$ 平方定理($1640$ 年)。

「$4$ で割って $1$ 余る素数は、必ず $2$ つの平方数の和で書ける。しかも、$1$ 通りに。」

$$5=1+4,13=4+9,17=1+16,29=4+25$$

すべて、$4k+1$ 型の素数だ。

一方、$4$ で割って $3$ 余る素数($3$、$7$、$11$、$19$)は、決して$2$ 平方の和にならない。

なぜ、こんな法則があるのか。

その説明に、複素数が使われる。

ガウス整数 $a+bi$($a$、$b$ は整数)という数の世界を考える。

この世界では、$5$ は素数ではない!

$$5=(1+2i)(1-2i)$$

分解できてしまう。

一方、$3$ はガウス整数の世界でも素数のまま(分解できない)。

「$4k+1$ 型の素数は、ガウス整数では分解する。$4k+3$ 型は分解しない。」

この違いが、$2$ 平方の和の法則を生んでいる。

整数の性質が、複素数の世界を経由して初めて説明される。

$z\bar{z}=25$ という、絶対値の計算。

その一般化が、$2000$ 年来の整数論の謎を解く鍵になっている。

数学は、こうして予想外の場所でつながっている。

別解

この公式の使い道 — 複素数の割り算(分母の実数化)。

$z\bar{z}=|z{|}^2$ が実数になる。 この事実は、何の役に立つのか。

割り算だ。

問題: $\frac{1}{3+4i}$ を、$a+bi$ の形にせよ。

分母に $i$ があると、「何なのか」が分からない。

分母を実数にしたい。

そこで、分母の共役を、分母・分子に掛ける。

$$\frac{1}{3+4i}=\frac{1}{3+4i}\times \frac{3-4i}{3-4i}=\frac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)}$$

分母は、まさにこの問題で計算した $z\bar{z}$ だ。

$$=\frac{3-4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$$

きれいな形になった!

検算しよう。 この数に $3+4i$ を掛けて、$1$ に戻るか。

$$\left(\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i\right)(3+4i)=\frac{1}{25}(3-4i)(3+4i)=\frac{25}{25}=1✓$$

確かに、逆数だ。

この操作を「分母の実数化」という。

中学で習った「有理化」と、まったく同じ発想だ。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

根号を消すために、共役($\sqrt{2}$)を掛けた。

虚数を消すために、共役($3-4i$)を掛ける。

「邪魔なものを、共役との積で消す」

同じ手が、$2$ 度使われている。

一般公式として、書いておこう。

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$$

「逆数 $=$ 共役 $÷$ 絶対値の $2$ 乗」

この式には、幾何的な意味もある。

$|z|=5$ なので、$\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{5}$。

逆数をとると、絶対値も逆数になる。

偏角は?

$\bar{z}$ の偏角は、$z$ の偏角の符号を変えたもの(実軸で折り返すから)。

$$\arg \frac{1}{z}=-\arg z$$

「逆数 $=$ 実軸で折り返して、原点からの距離を逆数にする」

これを反転という。

単位円($|z|=1$)の上では、逆数は共役と一致する。

$$|z|=1⟹\frac{1}{z}=\bar{z}$$

この性質が、単位円上の複素数を扱うときに、絶大な威力を発揮する。

($1$ の $n$ 乗根の計算では、この公式が繰り返し使われる。)

$z\bar{z}=25$ という、$1$ 行の計算。

それが、複素数の割り算を可能にし、逆数という操作に幾何的な意味を与えている。