複素数の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の足し算は、実部どうし、虚部どうしを足す。

$$z_1+z_2=(1+3)+(2-1)i=4+i$$

同類項をまとめるだけ。 文字式の計算と同じだ。

$$(1+2i)+(3-i)$$

$i$ を文字だと思えば

$$(1+3)+(2-1)i=4+i$$

簡単である。

この計算を、複素数平面で見ると?

点 $(1,2)$ と点 $(3,-1)$ を足して、点 $(4,1)$ を得る。

これは、ベクトルの和とまったく同じ操作だ。

$$(1,2)+(3,-1)=(4,1)$$

図では、平行四辺形の対角線。あるいは、矢印を継ぎ足したもの。

「複素数の足し算 $=$ ベクトルの足し算」

足し算に関しては、複素数はベクトルと何も変わらない。

違いが出るのは、掛け算のときだけである。

実部どうし・虚部どうしを足す。

$$z_1+z_2=(1+3)+(2-1)i=4+i$$

まとめ:複素数の和は「実部どうし、虚部どうし」を足すだけ。複素数平面ではベクトルの和(平行四辺形)と同じ。積(拡大 + 回転)とちがい、和は単純な移動だ。

発展 — 一歩先へ。 複素数とベクトル。同じに見えて、決定的な違いがある。

共通点。

• 足し算: 成分ごとに足す ✓ 同じ
• 実数倍: 成分ごとに掛ける ✓ 同じ
• 大きさ: $\sqrt{a^2+b^2}$ ✓ 同じ

では、違いは?

複素数には、「掛け算」がある。

$$(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i$$

複素数 $\times$ 複素数 $=$ 複素数。

ベクトルには、これがない。

• 内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ → 結果は数(ベクトルでない)
• 外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ → $3$ 次元でしか定義できない

「$2$ つのベクトルを掛けて、また同じ空間のベクトルを得る」という演算が、ベクトルには存在しないのだ。

そして、「割り算」もある。

$$\frac{1+2i}{3-i}=\frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{3+i+6i-2}{10}=\frac{1+7i}{10}$$

ベクトルの割り算は、定義できない。

この「四則演算が全部できる」という性質を、体という。

複素数は体である。 ベクトルは体ではない。

だから、複素数は"数"なのだ。

そして、ここに驚くべき定理がある。

フロベニウスの定理。

「実数を含み、四則演算が定義できる体系(有限次元)は、実数・複素数・四元数の $3$ つしかない。」

$2$ 次元では、複素数だけ。

$3$ 次元では? — 存在しない。

($3$ 次元で"掛け算"を定義しようとしたハミルトンは、$10$ 年悩んだ末、$4$ 次元なら可能だと気づいた。それが四元数だ。)

$4$ 次元では、四元数。ただし、交換法則が成り立たない($ab\ne ba$)。

$8$ 次元では、八元数。結合法則も成り立たない。

$16$ 次元以上では、もう何も残らない。

「掛け算ができる空間」は、$1$、$2$、$4$、$8$ 次元しかないのだ。

なぜ、この $4$ つだけなのか。

その理由は、トポロジー(位相幾何学)の深い定理から来ている($1958$ 年に証明された)。

代数の問題が、幾何の定理で解かれる。

我々が「複素数」という $2$ 次元の数を持てているのは、$2$ が、この特別な $4$ つの数のうちの $1$ つだからである。

$(1+2i)+(3-i)=4+i$

この足し算は、ベクトルと同じ。

だが、この $2$ つを"掛けられる"ということ。

そこに、複素数が"数"であることの、すべてが懸かっている。

別解

足し算をベクトルとして見て、その先の"引き算"まで押さえる。

複素数の足し算は、平行四辺形の対角線だった。

では、引き算は?

$$z_2-z_1=(3-i)-(1+2i)=2-3i$$

この $2-3i$ は、何を表すのか。

点 $z_1$ から、点 $z_2$ へ向かうベクトルだ。

$$\overrightarrow{z_1{z}_2}=z_2-z_1$$

確かめよう。 $z_1=(1,2)$、$z_2=(3,-1)$。

$$(3-1,-1-2)=(2,-3)$$

$2-3i$ と一致 ✓

「終点 $-$ 始点」 — ベクトルの引き算と、まったく同じ。

この事実から、複素数平面の重要な公式が出る。

$2$ 点間の距離。

$$\left|z_2-z_1\right|=\text{点 }{z}_1\text{ と }{z}_2\text{ の距離}$$

$$|2-3i|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

この $2$ 点は、$\sqrt{13}$ だけ離れている。

さらに、この「差」の発想が、図形の条件式を生む。

「$z$ が、点 $\alpha$ から距離 $r$ にある」

$$|z-\alpha |=r$$

これは、中心 $\alpha$、半径 $r$ の円の方程式だ!

「$z$ が、$\alpha$ と $\beta$ から等距離にある」

$$|z-\alpha |=|z-\beta |$$

これは、線分 $\alpha \beta$ の垂直二等分線である。

複素数 $1$ 文字で、円や直線が書けてしまう。

座標だと $2$ 文字($x$、$y$)必要だったのに。

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2⟷|z-\alpha |=r$$

左の式は $2$ 変数、右の式は $1$ 変数。

この簡潔さが、複素数で図形を扱う最大のメリットだ。

そして、和と差の対比。

$$z_1+z_2⟶\text{平行四辺形の対角線}$$ $$z_2-z_1⟶z_1\text{ から }{z}_2\text{ へのベクトル}$$

「足すと、対角線。引くと、向き。」

この $2$ つを掴んでおけば、複素数平面の図形問題は、ぐっと見通しがよくなる。

そして、$\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}$ という"商"を考えると、角度が出てくる。

($2$ つのベクトルの比 — 偏角が、なす角になる。)

この形が、「$3$ 点が一直線上」「$2$ 直線が垂直」といった条件を、$1$ 行で書く鍵になる。

足し算という、いちばん基本の演算。

その意味を「ベクトル」として掴むことが、複素数平面のすべての出発点になる。