極形式の積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極形式の掛け算には、驚くほど簡単な規則がある。

$$\boxed{\text{絶対値は掛ける。偏角は足す。}}$$

この $1$ 行を覚えれば、極形式の積は暗算できる。

絶対値: $2\times 3=6$

偏角: $30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$

$$z_1{z}_2=6\left(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }\right)$$

そして、$\cos 90^{\circ }=0$、$\sin 90^{\circ }=1$ だから

$$=6(0+i\times 1)=6i$$

なぜ、こんな規則が成り立つのか。

加法定理のおかげだ。

$$(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )=\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )$$

展開して、$i^2=-1$ を使い、加法定理でまとめると、この式が出る。

「複素数の掛け算 $=$ 拡大 $+$ 回転」

この幾何的な意味こそが、複素数を"数"として特別なものにしている。

① 絶対値をかける。 $2\times 3=6$。

② 偏角を足す。 $30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$。

$$z_1{z}_2=6(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=6(0+i\cdot 1)=6i$$

まとめ:複素数の積は「絶対値をかけ、偏角を足す」。これが極形式の最大の利点。$\cos 90^{\circ }=0$、$\sin 90^{\circ }=1$ なので $6i$。掛け算が「拡大 + 回転」になる、という複素数平面の本質だ。

発展 — 一歩先へ。 「掛け算 $=$ 拡大 $+$ 回転」

この事実が、複素数を「平面の幾何を扱う言語」に変える。

回転を、掛け算で表せる。

点 $z$ を、原点のまわりに $\theta$ だけ回転させたい。

$$z^{\prime }=z\times \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$$

掛けるだけ。

行列を使うと、こうなる。

$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

$2\times 2$ 行列の計算だ。

複素数なら、$1$ 回の掛け算で終わる。 圧倒的に楽である。

さらに、「点 $\alpha$ を中心とする回転」も書ける。

$$z^{\prime }=\alpha +\left(z-\alpha \right)\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$$

「$\alpha$ を原点に移す($-\alpha$)→ 回す(掛ける)→ 戻す($+\alpha$)」

$3$ ステップが、$1$ 行の式になる。

この式が、複素数平面の問題を解く、最強の武器だ。

「正三角形の $3$ 頂点」「正方形の頂点」「相似変換」 — すべて、この式で処理できる。

例: $z_1$、$z_2$、$z_3$ が正三角形をなす条件。

$z_2$ を $z_1$ のまわりに $60^{\circ }$ 回転させると、$z_3$ になる。

$$z_3-z_1=\left(z_2-z_1\right)\left(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }\right)$$

この $1$ 行が、正三角形の条件式である。

初等幾何なら、何行もかかる議論だ。

そして、この「掛け算による回転」は、コンピュータグラフィックスで実用化されている。

$2$ D の回転は、複素数で。

$3$ D の回転は?

四元数(クォータニオン)という、複素数を拡張した数を使う。

$$q=a+bi+cj+dk$$

($i$、$j$、$k$ という $3$ つの虚数単位がある。)

ハミルトンが $1843$ 年に発見した、この奇妙な数体系。

$150$ 年後、$3$ D ゲームやロボット工学、宇宙船の姿勢制御で、なくてはならない道具になった。

回転行列($3\times 3$、$9$ 個の数)より、四元数($4$ 個の数)のほうが、計算が速く、誤差も蓄積しにくい。

「複素数の掛け算が回転である」という発見。

それが $3$ 次元に拡張され、いま宇宙船の向きを制御している。

$2\times 3=6$、$30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$

この、小学生でもできる計算の中に、回転という幾何が宿っているのだ。

別解

極形式を使わず、直交形式($a+bi$)に直して、力ずくで掛ける。

「本当に $6i$ になるのか」を、自分の手で確かめる別解である。

まず、$z_1$ を $a+bi$ の形にする。

$$z_1=2\left(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}+i$$

次に、$z_2$。

$$z_2=3\left(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }\right)=3\left(\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

この $2$ つを、普通に掛け算する。

$$z_1{z}_2=\left(\sqrt{3}+i\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i\right)$$

分配法則で展開する。

$$=\sqrt{3}\cdot \frac{3}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}i+i\cdot \frac{3}{2}+i\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

$$=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{2}i+\frac{3}{2}i+\frac{3\sqrt{3}}{2}{i}^2$$

$i^2=-1$ を使う。

$$=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{2}i+\frac{3}{2}i-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

実部を整理する。

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=0$$

実部が、きれいに消えた!

虚部を整理する。

$$\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=\frac{12}{2}=6$$

$$z_1{z}_2=0+6i=6i$$

$6i$! 本解と完全に一致した ✓

極形式で $10$ 秒だった計算が、直交形式では $2$ 分かかった。

しかも、$\sqrt{3}$ が飛び交う面倒な展開だ。

この対比が、極形式の威力を教えてくれる。

「掛け算をするなら、極形式」

逆に、「足し算をするなら、直交形式」だ。

$$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$$

成分ごとに足すだけ。簡単だ。

極形式では、足し算はできない(絶対値も偏角も、単純には足せない)。

$2$ つの形式は、それぞれ得意分野が違う。

問題に応じて、$2$ つの形式を行き来する。

「掛け算・累乗が出てきたら、極形式に直す」

この判断ができるようになれば、複素数の計算は劇的に楽になる。