実部と共役

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 共役 $\bar{z}=3-4i$(虚部の符号を反転)を作って、足す・引くだけだ。

$$z+\bar{z}=(3+4i)+(3-4i)=6,z-\bar{z}=(3+4i)-(3-4i)=8i$$

結果には一般法則が見えている — 和は実数(実部の $2$ 倍)、差は純虚数(虚部の $2i$ 倍)。

$$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z),z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$$

共役との和・差は、複素数から実部・虚部を「取り出す」操作である。

① 和を計算する。 虚部が打ち消し合う。

$$z+\bar{z}=(3+4i)+(3-4i)=6$$

② 差を計算する。 実部が打ち消し合う。

$$z-\bar{z}=(3+4i)-(3-4i)=8i$$

まとめ:共役との和・差で実部・虚部を取り出せる。$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)=6$、$z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)=8i$。共役は「実部・虚部を分離する道具」。この性質は複素数が実数になる条件などで活躍する。

発展 — 一歩先へ。 和・差に積を加えると三点セットになる: $z\bar{z}=9+16=25=|z{|}^2$ — 共役との積は絶対値の $2$ 乗。割り算の実数化($s01$ の技)は、まさにこの性質を分母に使ったものだった。

$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$、$\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ と逆向きに書くと、「実部・虚部はいつでも $z$ と $\bar{z}$ の式で表せる」— 座標 $(x,y)$ の代わりに $(z,\bar{z})$ を変数に使う、という複素数平面の図形問題(軌跡の $\bar{z}$ 表示)の考え方の土台になる。

別解

計算の結果を、鏡の絵で見ておこう。なぜ和が実軸に、差が虚軸に乗るのかが一目になる。

$\bar{z}$ は $z$ を実軸で折り返した鏡像 — $z=3+4i$ が実軸の上 $4$ にいるなら、$\bar{z}=3-4i$ は同じ横位置で下 $4$ にいる。

和 $z+\bar{z}$: 平行四辺形の法則で $2$ 本の矢印を足すと、上向き成分 $+4$ と下向き成分 $-4$ が相殺 — 横成分だけが残って倍になり、実軸上の $6$ に着地する。

差 $z-\bar{z}$: 引き算では逆に横成分 $3-3$ が相殺 — 縦成分だけが残って倍になり、虚軸上の $8i$ に着く。

「鏡像と足せば縦が消え、引けば横が消える」— この絵を持っていると、$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$ の公式は暗記ではなく描写になる。

さらに、この $2$ つの操作は「$z$ が実数 ⟺ $z=\bar{z}$」「$z$ が純虚数 ⟺ $z+\bar{z}=0$($z\ne 0$)」という判定条件の源。証明問題で「実数であることを示せ」と来たら、$\bar{z}$ との一致を示す — その第一歩がこの計算である。