複素数の積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の積は、多項式と同じ分配法則の展開 $+i^2=-1$ の後処理。

$$(2+i)(3-i)=6-2i+3i-i^2=6+i+1=7+i$$

$-i^2=+1$ が実部に合流するのがポイント — $4$ 項の展開のうち、$i$ どうしの積だけが「実数の世界に帰ってくる」。

$$(2+i)(3-i)=2\cdot 3+2\cdot (-i)+i\cdot 3+i\cdot (-i)=6-2i+3i-i^2$$

$i^2=-1$ なので $-i^2=+1$。

$$=6+i+1=7+i$$

まとめ:複素数の積は「ふつうに展開して $i^2=-1$」。$-i^2$ が $+1$ になり実部に加わる。成分での積は分配法則、極形式での積は「絶対値の積・偏角の和」。目的に応じて使い分ける。

発展 — 一歩先へ。 偏角でも同じ検算ができる: 積の偏角は偏角の和。$2+i$ の偏角(約 $26.6^{\circ }$)と $3-i$ の偏角(約 $-18.4^{\circ }$)を足すと約 $8.1^{\circ }$ — 答え $7+i$ の偏角(${\tan }^{-1}\frac{1}{7}\approx 8.1^{\circ }$)と合う。「絶対値は積、偏角は和」のペアが、掛け算の完全な検算装置になる。

$\tan$ の言葉に翻訳すると $\tan (\alpha +\beta )$ の加法定理が出てくる — 複素数の積の展開と $\tan$ の加法定理は同じ計算の別表記だ。$(2+i)(3+i)(1+i)=10i$(偏角の和がちょうど $90^{\circ }$)から ${\tan }^{-1}\frac{1}{2}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}=45^{\circ }$ という有名な等式が出る、という遊びもある。

別解

展開の答えを、絶対値の性質でワンチェックする習慣を紹介したい。

積の絶対値は、絶対値の積 — $|zw|=|z||w|$。両辺を $2$ 乗した形で使うと平方根も要らない。

$$|2+i{|}^2=4+1=5,|3-i{|}^2=9+1=10$$

だから答えの絶対値の $2$ 乗は $5\times 10=50$ になるはず。検分すると

$$|7+i{|}^2=49+1=50✓$$

一致 — 展開ミス(符号や中間項の事故)があれば、まずここで露見する。

この検算はおまけに面白い恒等式を生んでいる: $(4+1)(9+1)=49+1$、一般に

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2$$

「$2$ 乗和 $\times$ $2$ 乗和は $2$ 乗和」(ブラーマグプタの恒等式)— 複素数の積の絶対値の関係が、$7$ 世紀のインドの数論の等式そのものだった。展開 $1$ 問の裏にも、こうした構造が眠っている。