2つの平方和で表す(複素数の絶対値と整数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 恒等式の右辺は「$2$ つの平方の和」。左辺は「$2$ つの平方和の積」。複素数の絶対値 $|z{|}^2=a^2+b^2$ を使うと橋がかかる。

$z=a+bi$、$w=c+di$ とおくと $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=|z{|}^2|w{|}^2=|zw{|}^2$。$zw$ の実部・虚部を計算すれば、右辺の $2$ 平方の和になる。

$65=5\times 13$ は、$5=|2+i{|}^2$、$13=|3+2i{|}^2$。掛ける相手を $w$ にするか共役 $\overline{w}$ にするかで、$2$ 通りの平方和が出る。

① 恒等式を示す。 $z=a+bi,w=c+di$ とおくと $|z{|}^2=a^2+b^2,|w{|}^2=c^2+d^2$。積は $$zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,$$ よって $|zw{|}^2=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$。$|z{|}^2|w{|}^2=|zw{|}^2$ だから $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$$ ② $65$ を平方和に。 $5=2^2+1^2,13=3^2+2^2$。$z=2+i,w=3+2i$ とすると $$zw=(2+i)(3+2i)=(6-2)+(4+3)i=4+7i\Rightarrow 65=4^2+7^2.$$ ③ 共役でもう1通り。 $w$ を共役 $\bar{w}=3-2i$ に変えると $$z\bar{w}=(2+i)(3-2i)=(6+2)+(-4+3)i=8-i\Rightarrow 65=8^2+1^2.$$ よって $65=4^2+7^2=8^2+1^2$。

まとめ 平方和は複素数の絶対値の2乗。$|zw{|}^2=|z{|}^2|w{|}^2$ から恒等式が生まれ、素因数を平方和で書いて掛けると合成数の平方和表示が得られる。共役に変えると別表示が出て $2$ 通り。複素数と整数(平方和)の融合。

発展 — 一歩先へ。 この「$2$ 平方和の積は $2$ 平方和」は、ガウス整数のノルムが乗法的($N(zw)=N(z)N(w)$)であることの現れ。フェルマーは「素数 $p$ が $2$ 平方の和で表せる $⟺p=2$ または $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$」を示した($5,13,17,29,\dots$)。$65=5\times 13$ が $2$ 通りに書けるのは、$2$ つの $p\equiv 1$ 型素数の積だからだ。整数論と複素数が出会う古典的な入り口である。

別解

別解 — 「ガウス整数」の掛け算として見る(得意な人向けの高い視点)。 $a+bi$ の形(実部・虚部が整数)の複素数をガウス整数という。$|z{|}^2=a^2+b^2$ は「ガウス整数のノルム」で、掛け算でノルムが掛かる($N(zw)=N(z)N(w)$)—これが恒等式の正体だ。

$65$ が $2$ 通りに書けるのは、掛ける相手を $w=3+2i$ にするか共役 $\overline{w}=3-2i$ にするかの違い。

$$(2+i)(3+2i)=4+7i\Rightarrow 65=4^2+7^2,(2+i)(3-2i)=8-i\Rightarrow 65=8^2+1^2.$$

なぜ $2$ 通りかも見える。$65=5\times 13$ で、$5,13$ はどちらも $2$ 平方和に書ける素数($5=|2+i{|}^2$、$13=|3+2i{|}^2$)。ガウス整数の世界では $5=(2+i)(2-i)$ のように分解でき、因子の組み合わせ方が $2$ 通りの表示を生む。

恒等式(本解)を暗記する代わりに、「$2$ 平方和はガウス整数のノルム、積はノルムの積」と読むと、フェルマーの $2$ 平方和定理(素数 $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ は平方和)への道が開ける。