3つの偏角の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ は、正接が $1,2,3$ の角 — 個々の値はきれいに書けない。

だが問われているのは和だ。複素数の掛け算は「絶対値は積、偏角は和」。つまり積 $\alpha \beta \gamma$ を1回計算すれば、その偏角として ${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3$ が(2π の整数倍を除いて)読める。

積が負の実数になれば和は $\pi +2k\pi$。あとは各角の範囲($0<{\theta }_k<\frac{\pi }{2}$)から $k$ を絞って確定する。

① 積を計算する。

$$\alpha \beta =(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1+3i$$

$$\alpha \beta \gamma =(-1+3i)(1+3i)=-1-3i+3i+9i^2=-10$$

② 偏角を読む。 $\alpha \beta \gamma =-10$ は負の実数だから

$${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3=\arg (-10)=\pi +2k\pi (k\text{は整数})$$

③ 範囲で確定する。 ${\theta }_1=\frac{\pi }{4}$ で、$\frac{\pi }{4}<{\theta }_2<{\theta }_3<\frac{\pi }{2}$(正接が $1<2<3$ で偏角も増える)。よって

$$\frac{3\pi }{4}<{\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3<\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{4}$$

この範囲にある $\pi +2k\pi$ は $\pi$ のみ。したがって

$${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3=\pi$$

まとめ: 「求まらない角は、和にして積で測る」— 正接が $1,2,3$ の3つの角がぴったり $180^{\circ }$ を作る、という古典の名等式が、複素数の掛け算2回と範囲の吟味だけで証明される。偏角の $2\pi$ の不定性を範囲で潰す最後の一歩まで書いて完答だ。

発展 — 一歩先へ。 $\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\pi$ は「方眼紙の3つの角」としても有名で、格子点だけで作った3つの直角三角形を組み合わせる図の証明もある。仲間に $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$(こちらは $(2+i)(3+i)=5+5i$)があり、円周率の計算(マチンの公式)へ続く系譜の入り口になっている。

別解

正接の加法定理で(複素数を使わない)。 $\tan {\theta }_1=1,\tan {\theta }_2=2,\tan {\theta }_3=3$ だから、加法定理を2回使えば数IIの範囲で解ける。

$$\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)=\frac{1+2}{1-1\cdot 2}=-3$$

$0<{\theta }_1+{\theta }_2<\pi$ で正接が負だから ${\theta }_1+{\theta }_2$ は鈍角、すなわち ${\theta }_1+{\theta }_2=\pi -\arctan 3$ の形($\arctan 3={\theta }_3$)。よって

$${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3=\pi$$

複素数の積(本解)は、この加法定理の計算を「掛け算1回」に圧縮したものだ。実際、$(1+i)(1+2i)(1+3i)=-10$ の展開で起きていることは、加法定理の分子分母の計算と一字一句対応している — 「複素数の積=偏角の加法定理の機械化」という視点が腑に落ちる1問。