点のまわりの回転

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点 $\alpha$ のまわりの回転は、$3$ 段に分けて考える。「$\alpha$ を原点に移す、原点まわりに回す、$\alpha$ を戻す」だ。

式にすると $w=\alpha +(z-\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$。$90^{\circ }$ 回転なら $i$ を掛ける。

「中心をずらした回転は、平行移動で原点まわりの回転に帰着できる」という発想が核になる。

① 回転の中心を原点に移す。 $z-\alpha =(1+i)-i=1$。

② 原点まわりに $90^{\circ }$ 回転する。 $i$ を掛ける。$1\times i=i$。

③ 中心を戻す。 $\alpha =i$ を足す。

$$w=\alpha +(z-\alpha )i=i+1\cdot i=i+i=2i$$

まとめ:原点以外の点 $\alpha$ のまわりの回転は「$\alpha$ を原点に移す($-\alpha$)→ 回転($(\cos \theta +i\sin \theta )$ を掛ける)→ 戻す($+\alpha$)」の $3$ 段階。$w=\alpha +(z-\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$。中心をずらしてから回すのがカギだ。

発展 — 一歩先へ。 $90^{\circ }$ 回転は、$4$ 回繰り返すとちょうど $1$ 周($360^{\circ }$)して元に戻る。$z=1+i$ を中心 $i$ のまわりに $90^{\circ }$ ずつ回し続けると、$1+i\to 2i\to -1+i\to 0\to 1+i$ と巡る。

この $4$ 点 $1+i,2i,-1+i,0$ は、中心 $i$ からの距離がすべて $1$ で、中心 $i$ の正方形の頂点をなす。回転の「$4$ 回で $1$ 周」が、正方形の $4$ 回対称そのものだ。

この $4$ 点をすべて足すと $(1+i)+2i+(-1+i)+0=4i$ で、平均はちょうど中心 $i$ に戻る。対称に配置された頂点は、平均(重心)が回転の中心と一致する。回した点を足して中心が浮かび上がるかどうかは、回転の計算の手軽な検算にもなる。

別解

別解 — 回転の条件を座標とベクトルで解く(苦手な人向けのルート)。 複素数の回転公式を思い出せなくても、「回転で何が保たれるか」を式にすれば解ける。

中心 $\mathrm{C}(0,1)$($\alpha =i$)から点 $(1,1)$($z=1+i$)へのベクトルは $(1,0)$。回転後の点を $(x,y)$ とすると、中心からのベクトルは $(x,y-1)$。

$90^{\circ }$ 回転では $2$ つのことが成り立つ。長さが変わらないこと、そして回転前後のベクトルが垂直なこと。

$$x^2+(y-1{)}^2=1,(x,y-1)\cdot (1,0)=x=0$$

$x=0$ を長さの式に入れると $(y-1{)}^2=1$、$y=0$ または $y=2$。$y=0$ は時計回りに $90^{\circ }$ 回した位置なので、反時計回りは $y=2$。ベクトル $(1,0)$ を反時計回りに $90^{\circ }$ 回すと $(0,1)$ になることからも、$(x,y-1)=(0,1)$、すなわち $y=2$ と確かめられる。

よって回転後の点は $(0,2)$、複素数では $w=2i$。複素数の掛け算で回す本解と同じ答えに、長さと垂直という図形の言葉だけでたどり着ける。