共役の性質

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $z$ と $\bar{z}$ を足す。

$$z=3+4i,\bar{z}=3-4i$$

$$z+\bar{z}=(3+4i)+(3-4i)=6$$

虚部が、きれいに打ち消し合った。

$+4i$ と $-4i$ が、ちょうど逆符号だからだ。

残るのは、実部の $2$ 倍。

$$z+\bar{z}=2\times 3=6$$

一般に、$z=a+bi$ なら

$$z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2\mathrm{Re}(z)$$

$$\boxed{z+\bar{z}=2(\text{実部})}$$

「共役を足すと、実部の $2$ 倍になる」

この公式は、実部を"取り出す"道具として使われる。

$$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$$

同じように、虚部を取り出す公式もある。 それは別解で見よう。

$$z+\bar{z}=(3+4i)+(3-4i)=6+0i=6$$

まとめ:$z+\bar{z}$ は「実部の $2$ 倍」= 実数。共役を足すと虚部($+4i$ と $-4i$)が打ち消し合う。同様に $z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$(虚部の情報)。共役は実部・虚部を取り出す道具になる。

発展 — 一歩先へ。 複素数平面の基本が、これで出そろった。全体を、$1$ 枚の地図にまとめよう。

複素数の $2$ つの顔。

$$z=a+bi(\text{直交形式 — 足し算に強い})$$ $$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }(\text{極形式 — 掛け算に強い})$$

幾何と代数の対応表。

平面幾何のすべての操作が、複素数の四則演算に翻訳される。

この対応表が、複素数平面という道具の全体像だ。

そして、条件の言い換え。

$$z\text{ が実数}⟺z=\bar{z}$$ $$z\text{ が純虚数}⟺z+\bar{z}=0(z\ne 0)$$ $$|z|=1⟺z\bar{z}=1⟺\frac{1}{z}=\bar{z}$$

「図形の条件」を「代数の等式」に変える。

これで、幾何の問題が、計算だけで解けるようになる。

ここまでが、高校の複素数平面だ。

では、その先には何があるのか。

複素関数論(複素解析)という、驚くべき世界が広がっている。

「複素数を変数とする関数 $f(z)$ を、微分・積分する」

この理論の主役は、正則関数(複素微分可能な関数)だ。

そして、驚くべき定理が次々と現れる。

① $1$ 回微分できれば、無限回微分できる。

(実関数では、$1$ 回微分できても $2$ 回目はできないことがある。複素数では、あり得ない。)

② 関数の値が、境界の値だけで決まる。

(円の内部の値が、円周上の値だけで完全に決まってしまう。)

③ 留数定理。

「実数の積分が、複素平面の"回り道"で計算できる。」

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\pi$$

この積分を、複素数の世界を経由して求める。

実数の世界では難しい計算が、複素数へ迂回すると簡単になる。

「$2$ つの正しい実数の主張の間の最短経路は、複素数平面を通る」

ハダマールという数学者の言葉だ。

$z+\bar{z}=6$

この、$5$ 秒で終わる計算。

その先には、実数だけでは決してたどり着けない、美しい世界が広がっている。

あなたは、その入り口に立っている。

別解

足し算の相棒 — 引き算で、虚部が取り出せる。

$z$ から $\bar{z}$ を引いてみよう。

$$z-\bar{z}=(3+4i)-(3-4i)=8i$$

今度は、実部が消えた!

$3-3=0$ だからだ。

残るのは、虚部の $2$ 倍(に $i$ を掛けたもの)。

$$z-\bar{z}=2\times 4\times i=8i$$

一般に

$$z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi=2i\mathrm{Im}(z)$$

虚部を取り出すには、$2i$ で割る。

$$\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$$

$3$ つの公式が、そろった。

$$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2},\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i},|z{|}^2=z\bar{z}$$

「共役との、和・差・積」が、それぞれ「実部・虚部・絶対値」を取り出す。

美しい対応だ。

そして、この $3$ つの公式を、幾何的に読んでみよう。

$z$ と $\bar{z}$ は、実軸に関して対称な $2$ 点だった。

足す($z+\bar{z}$) → $2$ 点のベクトルの和 → 実軸上のベクトル(上下の成分が打ち消し合う)

引く($z-\bar{z}$) → $2$ 点を結ぶベクトル → 虚軸に平行(実部が同じだから、真上に向かう)

図で見れば、当たり前の話だ。

さて、この公式を使うと、面白い問題が解ける。

問題: $|z|=1$ のとき、$z+\frac{1}{z}$ は実数であることを示せ。

$|z|=1$ なら、$z\bar{z}=1$。つまり $\frac{1}{z}=\bar{z}$。

$$z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}$$

これは、実部の $2$ 倍 — つまり実数だ ✓

証明終わり。$2$ 行である。

さらに、$z=\cos \theta +i\sin \theta$ とおけば

$$z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}=2\cos \theta$$

この式は、三角関数の計算で頻繁に使われる。

チェビシェフ多項式、$n$ 倍角の公式、対称式の計算 — すべて、この形が出発点だ。

「$z+\frac{1}{z}$ が $2\cos \theta$」

この $1$ 行が、複素数と三角関数を結ぶ、太いパイプになっている。

共役との和 — $z+\bar{z}=6$ という、ごく簡単な計算。

その公式が、複素数の問題を代数の問題に変える、翻訳装置になっている。