1の7乗根のガウス和(周期3の和と2次方程式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $A,B$ を直接足すのは大変。だが「和」と「積」なら計算できる。$A,B$ を解にもつ2次方程式を作る作戦だ。

和は、$1+\zeta +\cdots +{\zeta }^6=0$(全$7$乗根の和)から $A+B=\zeta +\cdots +{\zeta }^6=-1$。

積 $AB$ は展開して、${\zeta }^7=1$ で指数を $7$ で割った余りに落として数えると $2$。だから $A,B$ は $x^2+x+2=0$ の解。虚部の符号($A$ は上半分)で $A,B$ を特定する。

① 和 $A+B$。 $A+B=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4+{\zeta }^5+{\zeta }^6=(1+\zeta +\cdots +{\zeta }^6)-1=-1$。

② 積 $AB$。 $A=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4,B={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$ を展開する(${\zeta }^7=1$ で指数を $\mathrm{mod}7$)。 $$AB=\sum ({\zeta }^{1,2,4}\cdot {\zeta }^{3,5,6})={\zeta }^4+{\zeta }^6+{\zeta }^0+{\zeta }^5+{\zeta }^0+{\zeta }^1+{\zeta }^0+{\zeta }^2+{\zeta }^3.$$ ${\zeta }^0=1$ が $3$ 個、${\zeta }^1,\dots ,{\zeta }^6$ が各 $1$ 個ずつだから $$AB=3+(\zeta +{\zeta }^2+\cdots +{\zeta }^6)=3+(-1)=2.$$ ③ 2次方程式を解く。 $A+B=-1,AB=2$ より $A,B$ は $x^2+x+2=0$ の解 $x=\frac{-1\pm \sqrt{1-8}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}$。$A$ の虚部 $\sin \frac{2\pi }{7}+\sin \frac{4\pi }{7}+\sin \frac{8\pi }{7}>0$(正)なので $$A=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2},B=\frac{-1-\sqrt{7}i}{2}.$$

まとめ ガウス和は個別でなく“和と積”で攻める。$A+B=-1$(全根の和)、$AB=2$(${\zeta }^7=1$ で指数整理)から2次方程式に落ちて $\frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}$。複素数(1のn乗根)と2次方程式の融合。

発展 — 一歩先へ。 $A,B$ の指数 $\{1,2,4\}$ と $\{3,5,6\}$ は、$7$ の平方剰余と非剰余。この和(ガウス周期)を使うと、正 $7$ 角形は定規とコンパスだけでは作図できない($7$ が“よい素数”でない)ことも見える。ガウスが $19$ 歳で正 $17$ 角形の作図可能性を発見した理論の、最初の一歩がこの周期の計算だ。

別解

別解 — 平方剰余で $3$ つずつに分ける意味を読む(得意な人向けの高い視点)。 $A=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4$、$B={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$ の指数の分け方 $\{1,2,4\}$ と $\{3,5,6\}$ には意味がある。

$\mathrm{mod}7$ で平方を計算すると、$1^2=1$、$2^2=4$、$3^2=2$、$4^2=2$、$5^2=4$、$6^2=1$。現れるのは $\{1,2,4\}$ だけ。これらが $7$ の平方剰余(ある数の $2$ 乗で表せる余り)で、残り $\{3,5,6\}$ が非剰余だ。

つまり $A$ は「平方剰余の指数」、$B$ は「非剰余の指数」を集めたもの(ガウス周期)。この分け方が「和 $-1$・積 $2$」というきれいな対称性を生む。

$A-B=\sqrt{-7}=\sqrt{7}i$ になるのも偶然でなく、平方剰余の理論(ガウス和)で $\pm \sqrt{\pm p}$ が現れる一般法則の $p=7$ の場合。本問の $2$ 次方程式 $x^2+x+2=0$ の判別式 $-7$ に、素数 $7$ が顔を出している。