|z|=1 のときの z+1/z の範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|z|=1$ という条件は強力。$z\bar{z}=|z{|}^2=1$ より $\frac{1}{z}=\bar{z}$(共役)。

すると $z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}$ となり、これは実数(虚部が打ち消し合う)で $2\mathrm{Re}(z)$。

$z=\cos \theta +i\sin \theta$ と表せば $2\cos \theta$。

$\cos \theta$ の範囲から値域が出る、と見通す。

① $\frac{1}{z}$ を共役に。 $|z|=1$ より $z\bar{z}=1$、すなわち $\frac{1}{z}=\bar{z}$。よって

$$z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$

これは実数。

② 範囲を求める。 $z=\cos \theta +i\sin \theta$(単位円上)とおくと $\mathrm{Re}(z)=\cos \theta$。よって

$$z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$$

$-1\le \cos \theta \le 1$ だから

$$-2\le z+\frac{1}{z}\le 2$$

まとめ:$|z|=1$ なら $\frac{1}{z}=\bar{z}$ で $z+\frac{1}{z}=2\mathrm{Re}(z)=2\cos \theta$。実数で、範囲は $[-2,2]$。単位円上の点の実部が $\pm 1$ の間を動くことが直接効く。

発展 — 一歩先へ。 $|z|=1$ のとき $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$ となる関係は、複素数と三角関数を結ぶ大切な橋。ここから $z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta$ も出て、$\cos n\theta$ を $\cos \theta$ の多項式(チェビシェフ多項式)で表す道具になる。

たとえば ${\left(z+\frac{1}{z}\right)}^2=z^2+2+\frac{1}{z^2}$ から $z^2+\frac{1}{z^2}=(2\cos \theta {)}^2-2=2\cos 2\theta$、すなわち $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$(倍角公式)が導ける。

写像 $w=z+\frac{1}{z}$ は、単位円を線分 $[-2,2]$ に押しつぶす。翼の断面(ジューコフスキー翼)を作る変換としても知られる。単純な式が、豊かな幾何を生む。

別解

別解 — $z=\cos \theta +i\sin \theta$ を直接代入する(苦手な人向けの手順ルート)。 $\frac{1}{z}=\bar{z}$ を知らなくても、$z$ を単位円上の点として書き、$\frac{1}{z}$ を素直に計算すればよい。

$|z|=1$ だから $z=\cos \theta +i\sin \theta$ と表せる。$\frac{1}{z}$ は分母を実数化して

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos \theta +i\sin \theta }=\frac{\cos \theta -i\sin \theta }{(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )}=\frac{\cos \theta -i\sin \theta }{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\cos \theta -i\sin \theta .$$

(${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ で分母が $1$。)これを足すと

$$z+\frac{1}{z}=(\cos \theta +i\sin \theta )+(\cos \theta -i\sin \theta )=2\cos \theta .$$

虚部が消えて実数。$-1\le \cos \theta \le 1$ だから $-2\le z+\frac{1}{z}\le 2$。

$\frac{1}{z}=\bar{z}$ を使う本解と同じ。分母を実数化して $\frac{1}{z}=\cos \theta -i\sin \theta$ を出せば、$\frac{1}{z}$ が共役だと自然に分かる。手を動かして確かめると納得できる。