1のn乗根と分数の和(対称式の妙技)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\zeta }^k}$ は「根の逆数っぽい和」。多項式の対数微分で一気に扱える。

${\zeta }^k$($k=1,\dots ,n-1$)を根にもつ多項式は $P(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=1+x+\cdots +x^{n-1}=\prod _{k=1}^{n-1}(x-{\zeta }^k)$。

対数微分すると $\frac{P^{\prime }(x)}{P(x)}=\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{x-{\zeta }^k}$。$x=1$ を代入すれば、求める和が $\frac{P^{\prime }(1)}{P(1)}$ で計算できる。

① 多項式を用意する。 ${\zeta }^k(k=1,\dots ,n-1)$ を根にもつのは $P(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}$。

② $P(1),P^{\prime }(1)$ を計算する。 $P(1)=\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=n$。導関数 $P^{\prime }(x)=1+2x+3x^2+\cdots +(n-1)x^{n-2}$ に $x=1$ を入れると $$P^{\prime }(1)=1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$$ ③ 対数微分に $x=1$ を代入。 $\frac{P^{\prime }(x)}{P(x)}=\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{x-{\zeta }^k}$ に $x=1$ を代入して $$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\zeta }^k}=\frac{P^{\prime }(1)}{P(1)}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}.$$

まとめ 「根の分数の和」は、根をもつ多項式の対数微分 $\frac{P^{\prime }}{P}=\sum \frac{1}{x-\text{根}}$ で捉えるのが定石。$P=1+x+\cdots +x^{n-1}$ の $P(1)=n,P^{\prime }(1)=\frac{n(n-1)}{2}$ から、和は $\frac{n-1}{2}$。複素数と微分・対称式の融合。

発展 — 一歩先へ。 $\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\zeta }^k}=\frac{n-1}{2}$ は、根の逆数和(対数微分)の典型。同じ対数微分で $\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1-{\zeta }^k{)}^2}=-\frac{(n-1)(n-5)}{12}$ なども出せる。多項式の根に関する和(ニュートンの公式や部分分数)は、$\frac{P^{\prime }}{P}$ という対数微分の道具でまとめて扱えるのが強みだ。

別解

別解 — 共役ペアを足して $1$ にする(苦手な人にも見通しのよいルート)。 和の項を、${\zeta }^k$ と ${\zeta }^{n-k}$(共役)のペアにまとめる。${\zeta }^{n-k}=\overline{{\zeta }^k}$ だから、この $2$ 項の和は

$$\frac{1}{1-{\zeta }^k}+\frac{1}{1-\overline{{\zeta }^k}}=\frac{(1-\overline{{\zeta }^k})+(1-{\zeta }^k)}{|1-{\zeta }^k{|}^2}=\frac{2-2\mathrm{Re}{\zeta }^k}{|1-{\zeta }^k{|}^2}.$$

分母 $|1-{\zeta }^k{|}^2=(1-{\zeta }^k)(1-\overline{{\zeta }^k})=2-2\mathrm{Re}{\zeta }^k$ と、分子がぴったり同じ。だから各ペアの和は $1$。

$k=1,\dots ,n-1$ を $\{k,n-k\}$ のペアに分けると、ちょうど $\frac{n-1}{2}$ 組(重複や中央項を数えても総和は変わらない)。よって

$$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\zeta }^k}=\frac{n-1}{2}.$$

対数微分(本解)は $\frac{P^{\prime }(1)}{P(1)}$ で機械的に出すが、共役ペアの相殺は「なぜ答えが実数の $\frac{n-1}{2}$ になるか」を目に見せてくれる。虚部が対称に打ち消し合うのが一目瞭然だ。