複素数と円

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値 $|z-\alpha |$ の意味は「点 $z$ と点 $\alpha$ の距離」。だから

$$|z-i|=1$$

は「点 $i$ からの距離が $1$ の点の集まり」— 中心 $i$(座標では $(0,1)$)、半径 $1$ の円だ。

点 $2i$ の判定も距離で: $|2i-i|=|i|=1$ — 中心からちょうど $1$、円上にある($2i$ はこの円のてっぺんの点)。式を「距離の日本語」に訳すのがすべてである。

① 図形を読む。 $|z-i|=1$ は「$i$ からの距離が $1$」の点の集まり。中心 $i$(点 $(0,1)$)、半径 $1$ の円。

② 点 $2i$ を調べる。

$$|2i-i|=|i|=1$$

中心 $i$ からの距離が $1$ なので、点 $2i$ は円上にある。

まとめ:$|z-\alpha |=r$ は円の方程式(複素数版)。$\alpha$ が中心、$r$ が半径。距離が $|z-\alpha |$ で表せるのが複素数平面の便利なところ。$2i$ は中心 $i$ の真上、距離 $1$ で円周上だ。

発展 — 一歩先へ。 円のもう $1$ つの複素数表示 $z\bar{z}-\bar{\alpha }z-\alpha \bar{z}+|\alpha {|}^2=r^2$($|z-\alpha {|}^2=(z-\alpha )\overline{(z-\alpha )}$ の展開)は、$\bar{z}$ を含む式の図形判定で使う上級の道具。$|z{|}^2=z\bar{z}$ という関係が、絶対値の問題を共役の代数に変換する鍵になる。

「絶対値 $=$ 距離」の目で読める図形は円だけではない。$|z-\alpha |=|z-\beta |$ は垂直二等分線、$|z-\alpha |+|z-\beta |=2a$ は楕円(数Cの曲線!)— 距離の言葉で定義された図形はすべて、複素数の絶対値で $1$ 行になる。

別解

$z=x+yi$ とおいて、数IIの座標の世界に翻訳しても同じ結論に着く。

$$|z-i|=|x+(y-1)i|=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=1$$

両辺を $2$ 乗して

$$x^2+(y-1{)}^2=1$$

— 見慣れた円の方程式(中心 $(0,1)$、半径 $1$)そのものだ。点 $2i=(0,2)$ を代入すると $0+1=1$ ✓ — 円上にある。

複素数の $1$ 行 $|z-i|=1$ と、座標の式 $x^2+(y-1{)}^2=1$ は、同じ円の2 つの言語だ。複素数の側は「中心と半径が式にむき出し」で図形の意味が読みやすく、座標の側は計算(接線・交点)の道具が揃っている — 問題に応じて翻訳しながら使い分ける。

翻訳の練習としては、$|z-1|=|z-i|$($2$ 点から等距離 → 垂直二等分線)、$|z|=2|z-3|$(アポロニウスの円)なども同じ手順($z=x+yi$ を代入して整理)で座標の式に落ちる — 「困ったら $x+yi$」は複素数の図形問題の安全網である。