高次の累乗

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(1+i{)}^{10}$ のような高い累乗は、極形式に直してド・モアブルを使う。絶対値 $\sqrt{2}$ を $10$ 乗し、偏角 $45^{\circ }$ を $10$ 倍するだけだ。

偏角 $45^{\circ }\times 10=450^{\circ }$ は $1$ 周を超える。$360^{\circ }$ を引くと $90^{\circ }$ になる。

結局どの軸の上に乗るかが見えれば答えは近い。「偏角は $360^{\circ }$ の周期で簡約できる」という、高次累乗の仕上げの発想だ。

① 極形式にする。 $1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$。

② ド・モアブルを使う。 絶対値 $(\sqrt{2}{)}^{10}=2^5=32$、偏角 $45^{\circ }\times 10=450^{\circ }$。

③ 偏角を直す。 $450^{\circ }-360^{\circ }=90^{\circ }$。

$$(1+i{)}^{10}=32(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=32(0+i)=32i$$

まとめ:高次累乗はド・モアブルで一撃。偏角 $450^{\circ }$ は一周($360^{\circ }$)を引いて $90^{\circ }$ とみる。$(\sqrt{2}{)}^{10}=2^5=32$。展開では絶望的な計算が、極形式なら数行だ。

発展 — 一歩先へ。 $1+i$ を掛けることは「$45^{\circ }$ 回転して $\sqrt{2}$ 倍する」操作だ。偏角が $45^{\circ }$ なので、$8$ 回掛けると向きがちょうど $1$ 周する($45^{\circ }\times 8=360^{\circ }$)。

実際 $(1+i{)}^8=((1+i{)}^2{)}^4=(2i{)}^4=16$ で、正の実数に戻る。だから $(1+i{)}^n$ の向きは、指数 $n$ を $8$ で割った余りだけで決まる。

今回の $n=10$ が $8+2$ だから「$2$ 乗と同じ向き」になる、というのが周期の見方だ。一般に、偏角が $\frac{360^{\circ }}{m}$ の複素数は、累乗すると $m$ 個の方向をぐるぐると巡る。これは $1$ の $m$ 乗根が正 $m$ 角形に並ぶ構造と同じもので、指数を $m$ で割った余りが向きを支配する。

別解

別解 — 極形式を使わず、$i$ の累乗だけで解く(得意な人向けの視点)。 $1+i$ は $2$ 乗すると特別に簡単な形になる。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$$

つまり $(1+i{)}^2=2i$(純虚数)。求めるのは $10$ 乗だから、この $2$ 乗の $5$ 乗を作ればよい。

$$(1+i{)}^{10}=((1+i{)}^2{)}^5=(2i{)}^5=2^5{i}^5=32i^5$$

$i^5=i^4\cdot i=i$ だから、答えは $32i$。

三角関数を一度も使わずに済む。$(1+i{)}^2=2i$ という「$2$ 乗で純虚数になる」性質に気づけば、$i$ の累乗の規則だけで到達できる。極形式にする本解と同じ $32i$ だ。