2点間の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 点間の距離は、差の絶対値だ。

$$\text{距離}=\left|z_2-z_1\right|$$

まず、差を計算する。

$$z_2-z_1=(4+5i)-(1+i)=3+4i$$

次に、その絶対値を求める。

$$|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

距離は $5$。

なぜ、「差の絶対値」が距離になるのか。

$z_2-z_1$ は、点 $z_1$ から点 $z_2$ へ向かうベクトルだった。

その絶対値(大きさ)が、$2$ 点の距離になるのは当然だ。

ベクトルの $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\mathrm{AB}$ と、まったく同じ。

そして、出てきた $3+4i$ という数。

これは、最初の問題($|3+4i|=5$)で扱ったものと、同じだ。

同じ計算が、違う顔をして現れる。 数学では、よくあることである。

① 差を求める。 $z_1-z_2=(1-4)+(1-5)i=-3-4i$。

② 絶対値を求める。

$$|z_1-z_2|=|-3-4i|=\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$$

まとめ:複素数平面の $2$ 点間の距離は「差の絶対値 $|z_1-z_2|$」。差 $z_1-z_2$ は $z_2$ から $z_1$ へのベクトルにあたり、その大きさが距離。座標平面の距離公式と同じことだ。

発展 — 一歩先へ。 複素数平面では、「$2$ 点間の距離」だけでなく、「角度」も簡単に扱える。

$3$ 点 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ を考える。

$\angle \beta \alpha \gamma$($\alpha$ を頂点とする角)を求めたい。

複素数の商を作る。

$$w=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$

分子は「$\alpha$ から $\gamma$ へのベクトル」、分母は「$\alpha$ から $\beta$ へのベクトル」。

この商の偏角が、$2$ つのベクトルのなす角 — つまり $\angle \beta \alpha \gamma$ になる。

$$\angle \beta \alpha \gamma =\arg \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$

なぜか。 商の偏角は、偏角の差だからだ。

$$\arg \frac{z_2}{z_1}=\arg z_2-\arg z_1$$

この公式から、$2$ つの重要な条件が出る。

条件 $1$: $3$ 点が一直線上にある。

なす角が $0^{\circ }$ か $180^{\circ }$。 つまり、商が実数になる。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }\text{が実数}⟺\alpha ,\beta ,\gamma \text{が一直線上}$$

条件 $2$: $2$ 直線が垂直。

なす角が $90^{\circ }$。 つまり、商が純虚数になる。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }\text{が純虚数}⟺\alpha \beta \perp \alpha \gamma$$

「一直線 $=$ 実数」「垂直 $=$ 純虚数」

この $2$ つの言い換えは、複素数平面の問題で、繰り返し使われる。

そして、前に学んだ「実数・純虚数の条件」が、ここで生きてくる。

$$w\text{ が実数}⟺w=\bar{w}$$

$$w\text{ が純虚数}⟺w+\bar{w}=0(w\ne 0)$$

すべてが、$1$ 本の線でつながる。

幾何の条件(一直線、垂直)

$$\downarrow$$

複素数の条件(実数、純虚数)

$$\downarrow$$

共役の等式($w=\bar{w}$、$w+\bar{w}=0$)

図形の問題が、$3$ 段階で、ただの方程式に変換される。

この"翻訳"の連鎖が、複素数平面という道具の本質だ。

さらに、$4$ 点が同一円周上にある条件も、書ける。

$$\frac{(\gamma -\alpha )(\delta -\beta )}{(\gamma -\beta )(\delta -\alpha )}\text{が実数}$$

この式は複比と呼ばれ、射影幾何学という、より高度な理論の中心概念になる。

円周角の定理が、$1$ 行の式に凝縮されている。

「$2$ 点間の距離は $|z_2-z_1|$」という、素朴な事実。

そこに「商の偏角は角度」を加えると、複素数平面は、平面幾何のすべてを記述する言語になる。

ガウスが $200$ 年前に切り開いた、この道具。

それを、いまあなたが手にしている。

別解

距離の式 $|z-\alpha |$ から、円と直線の方程式を作る。

この問題で使った「$2$ 点間の距離 $=|z_2-z_1|$」という式。

これを、"条件"として使うと、図形が生まれる。

円。

「点 $\alpha$ から、距離 $r$ にある点 $z$ の全体」

$$\left|z-\alpha \right|=r$$

これが、中心 $\alpha$、半径 $r$ の円の方程式だ。

座標で書くと、$2$ 変数($x$、$y$)が必要だった。

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

複素数なら、$1$ 変数($z$)で済む。

この簡潔さが、複素数で図形を扱う理由である。

垂直二等分線。

「$2$ 点 $\alpha$、$\beta$ から等距離にある点」

$$\left|z-\alpha \right|=\left|z-\beta \right|$$

これが、線分 $\alpha \beta$ の垂直二等分線。

アポロニウスの円。

「$2$ 点からの距離の比が $m:n$ である点」

$$n\left|z-\alpha \right|=m\left|z-\beta \right|$$

この条件を満たす点は、円を描く(比が $1:1$ でなければ)。

数学IIで学んだアポロニウスの円が、複素数では $1$ 行で書ける。

実際に、方程式を解いてみよう。

問題: $|z-1|=2|z+1|$ を満たす $z$ の描く図形は?

両辺を $2$ 乗する。 $|w{|}^2=w\bar{w}$ を使う。

$$(z-1)\overline{(z-1)}=4(z+1)\overline{(z+1)}$$

$$(z-1)(\bar{z}-1)=4(z+1)(\bar{z}+1)$$

展開する。

$$z\bar{z}-z-\bar{z}+1=4\left(z\bar{z}+z+\bar{z}+1\right)$$

$$3z\bar{z}+5z+5\bar{z}+3=0$$

$3$ で割る。

$$z\bar{z}+\frac{5}{3}z+\frac{5}{3}\bar{z}+1=0$$

平方完成のように、まとめる。

$$\left(z+\frac{5}{3}\right)\left(\bar{z}+\frac{5}{3}\right)=\frac{25}{9}-1=\frac{16}{9}$$

$${\left|z+\frac{5}{3}\right|}^2=\frac{16}{9}$$

$$\left|z+\frac{5}{3}\right|=\frac{4}{3}$$

中心 $-\frac{5}{3}$、半径 $\frac{4}{3}$ の円!

アポロニウスの円が、複素数の計算で出てきた。

この計算の要は、$|w{|}^2=w\bar{w}$ という、前問の公式だった。

「絶対値の $2$ 乗は、共役との積」

この $1$ 行が、絶対値を含む方程式を、普通の代数計算に変えてしまう。

根号(絶対値)が邪魔なら、$2$ 乗して共役との積にする。

この定石が、複素数平面の図形問題を解く、最大の武器である。