絶対値と偏角から複素数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「絶対値と偏角」から複素数を作る — 極形式の逆向きの読みだ。

$$z=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$

三角比の値 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ を入れて展開すると

$$z=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i=\sqrt{3}+i$$

極形式 → 直交形式の翻訳は、三角比の値の代入だけで済む。

① 極形式を書く。

$$z=2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$$

② 三角比を代入して展開する。 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。

$$z=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=\sqrt{3}+i$$

まとめ:「絶対値と偏角 → 複素数」は極形式を書いて展開するだけ。$\frac{\pi }{6}$($30^{\circ }$)の三角比 $\cos =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin =\frac{1}{2}$ を正確に。$\sqrt{3}+i$ の絶対値 $\sqrt{3+1}=2$ で確認できる。

発展 — 一歩先へ。 「絶対値と偏角の組」から点を決める考え方は、極座標(数Cの曲線の単元)と同一のものだ。複素数平面の $(r,\theta )$ ⇔ $x+yi$ の翻訳は、極座標の $(r,\theta )$ ⇔ $(x,y)$ と同じ変換式($x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$)— $2$ つの単元は同じ道具の別名である。

この $z=\sqrt{3}+i$ は $12$ 乗すると初めて正の実数になる($30^{\circ }\times 12=360^{\circ }$)。「$z^n$ が実数になる最小の $n$」型の問題は、偏角が $360^{\circ }$ の約数分のいくつか、という角度の勘定に帰着する — 極形式で作った数は、累乗の問題の入り口に立っている。

別解

三角比の表を引かずに、三角定規の絵で座標を直読みする方法もある。

「絶対値 $2$・偏角 $30^{\circ }$」は、原点から斜辺 $2$ の棒を $30^{\circ }$ の角度で伸ばした先の点。棒の下に直角三角形を描くと、$30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ の正三角形の半分の形 — 辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ で

• 底辺(実部)$=\sqrt{3}$ — 斜辺 $2$ に対して長い方の辺(角度が浅いので横に長い)
• 高さ(虚部)$=1$ — 短い方の辺

$$z=\sqrt{3}+i$$

極形式の問題($1+\sqrt{3}i$ は偏角 $60^{\circ }$)と見比べると、実部と虚部が入れ替わった鏡のペア($30^{\circ }$ と $60^{\circ }$ は $45^{\circ }$ をはさんで対称)になっている — どちらが $\sqrt{3}$ でどちらが $1$ かは、「角度が浅ければ横長、深ければ縦長」の絵で確かめれば取り違えない。

有名角($30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$)の複素数は、表の暗記より三角定規 $2$ 枚の絵 — 図を描く $10$ 秒が符号・比率のミスを消してくれる。