3点が一直線上にある判定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 点が一直線上にあるかは、$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ が実数かどうかで判定できる。

これは「$\alpha$ から見た $\beta$ の向きと $\gamma$ の向きが同じ(または逆)」= 偏角の差が $0$ か $\pi$、を意味する。

だからこの商を計算する。

虚部が $0$(実数)なら一直線上、と見通す。

① 差を計算する。 $\gamma -\alpha =(4+3i)-1=3+3i$、$\beta -\alpha =(2+i)-1=1+i$。

② 商を計算する。 分母の共役を掛ける。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{3+3i}{1+i}=\frac{(3+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i+3i-3i^2}{1-i^2}=\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}=3$$

③ 判定する。 $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=3$ は実数。よって $3$ 点は一直線上にある(しかも $\gamma -\alpha =3(\beta -\alpha )$ より、$\gamma$ は $\alpha$ から $\beta$ 方向に $3$ 倍の位置)。

まとめ:$3$ 点の共線判定は「$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ が実数か」。分母の共役を掛けて計算し、虚部が $0$ なら一直線。値 $3$(実数かつ正)は、$\gamma$ が $\alpha \beta$ の延長上にあることも示す。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ という商は、複素数の割り算が「回転と拡大の逆」だから意味をもつ。その偏角は「$\alpha$ から $\beta$ を見る向き」と「$\alpha$ から $\gamma$ を見る向き」の角度差。この差が $0$ か $\pi$、つまり商が実数なら $3$ 点は一直線だ。

商の値そのものにも情報がある。実数で正なら $\gamma$ は $\beta$ と同じ側(半直線上)、負なら反対側。今回の $3$ は正なので、$\gamma$ は $\alpha$ から $\beta$ 方向へ $3$ 倍伸ばした位置にある。

同じ商が実数でなく「純虚数」なら、$\angle \beta \alpha \gamma =90°$(直交)。商の偏角が、$3$ 点の位置関係をまるごと語っている。

別解

別解 — $\gamma -\alpha$ が $\beta -\alpha$ の実数倍かを見る(得意な人向けの視点)。 商を割り算しなくても、$\gamma -\alpha$ が $\beta -\alpha$ の実数倍になっているかを直接確かめればよい。

差を計算する。

$$\beta -\alpha =(2+i)-1=1+i,\gamma -\alpha =(4+3i)-1=3+3i.$$

$3+3i=3(1+i)$ なので、$\gamma -\alpha =3(\beta -\alpha )$。実数 $3$ 倍だから、$\overrightarrow{\alpha \gamma }$ は $\overrightarrow{\alpha \beta }$ と同じ向き。よって $3$ 点は一直線上にある。

座標の傾きで見てもよい。$\alpha (1,0)$ から $\beta (2,1)$ への傾きは $\frac{1}{1}=1$、$\gamma (4,3)$ への傾きも $\frac{3}{3}=1$。傾きが等しいので一直線。

商 $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=3$ を計算する本解と同じ結論。$\gamma -\alpha$ がすぐに $\beta -\alpha$ の見やすい実数倍になっていれば、割り算せずとも共線と分かる。実数倍 $=$ 同じ向き、が判定の核だ。