単位円を直線にうつす変換

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「描く図形が虚軸(直線)らしい」と当たりをつけたら、合言葉は「純虚数 ⟺ $w+\overline{w}=0$」。

$w+\overline{w}$ を通分して計算すると、分子に $1-z\overline{z}$ が現れる。$|z|=1$ のとき、これはちょうど $0$ — つまり $w$ はつねに純虚数だ。

軌跡の答案はもう一歩ある。「虚軸のどの点にも対応する $z$ がある」ことの確認(逆向き)だ。$w$ について解いた $z=\frac{w-1}{w+1}$ が単位円上にあることを見て、初めて「虚軸全体」と言い切れる。

① $w+\overline{w}$ を計算する。 $\overline{w}=\frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}}$ だから、通分して

$$w+\overline{w}=\frac{(1+z)(1-\overline{z})+(1+\overline{z})(1-z)}{(1-z)(1-\overline{z})}=\frac{2-2z\overline{z}}{|1-z{|}^2}=\frac{2(1-|z{|}^2)}{|1-z{|}^2}$$

(分子の $z,\overline{z}$ の1次の項は打ち消し合う。)$|z|=1$ なら分子は0 — $w$ は虚軸上にある。

② 届くこと(逆向き)。 任意の純虚数 $w=iy$($y$ は実数)に対し、$w=\frac{1+z}{1-z}$ を $z$ について解くと $z=\frac{w-1}{w+1}$。このとき

$$|z{|}^2=\frac{|iy-1{|}^2}{|iy+1{|}^2}=\frac{1+y^2}{1+y^2}=1$$

で、たしかに単位円上($z\ne 1$ も確認できる)。$w=0$ も $z=-1$ で実現する。

③ 結論。 軌跡は虚軸全体である。なお $z=\pm i$ は $w=\pm i$ にうつる — この変換の「動かない点」だ。

まとめ: 1次の分数の式は円を直線に(直線を円に)うつす — その判定は $w+\overline{w}$ の計算1本で済む。「乗る」(必要)と「届く」(十分)の2方向を書いて初めて『図形を求めよ』への完答になる。

発展 — 一歩先へ。 $w=\frac{1+z}{1-z}$ のような1次分数変換は、「円と直線をまとめて円とみなす」と、円を必ず円に移す(直線は半径無限大の円)。単位円が虚軸に、円の内部が左半平面に移る — この対応は電気工学のスミスチャート(インピーダンスの図)として実用されている。分母の零点 $z=1$ が「無限遠へ飛ぶ点」で、そこが直線化の源だ。

別解

タレスの定理で図形的に(計算1行)。 $1+z=z-(-1)$、$1-z=-(z-1)$ に注目する。つまり

$$w=\frac{1+z}{1-z}=-\frac{z-(-1)}{z-1}$$

分数 $\frac{z-(-1)}{z-1}$ の偏角は、「点 $z$ から $-1$ を見る方向」と「点 $z$ から $1$ を見る方向」のなす角。$-1$ と $1$ は単位円の直径の両端だから、円周上の $z$ からこの2点を見込む角は直角(タレスの定理)。

偏角が $\pm 90^{\circ }$ の複素数は純虚数。$-1$ 倍しても純虚数のままだから、$w$ は純虚数 — 計算らしい計算をせずに結論が出た。

$w+\overline{w}$ の通分(本解)は逆向きの確認まで一気通貫でこなせる実務の道、タレスは「なぜ虚軸なのか」を一目で見せる図の道。円周角が分数の偏角に化ける、この翻訳は複素数平面の華だ。