正n角形の対角線の積(1のn乗根と多項式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\prod _{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)$ は「$1$ の $n$ 乗根を全部代入した積」の形。これは因数分解された多項式への代入で読むのが早い。

$x^n-1$ は $n$ 個の $n$ 乗根 ${\zeta }^0,{\zeta }^1,\dots ,{\zeta }^{n-1}$ を根にもつから、$x^n-1=\prod _{k=0}^{n-1}(x-{\zeta }^k)$。

$k=0$ の因子 $(x-1)$ を除くと $\frac{x^n-1}{x-1}=1+x+\cdots +x^{n-1}=\prod _{k=1}^{n-1}(x-{\zeta }^k)$。ここに $x=1$ を代入すると、左辺は $n$、右辺は求める積。だから積は $n$。

① $(x-1)$ で割る。 ${\zeta }^0=1$ を分けると $$x^n-1=(x-1)\prod _{k=1}^{n-1}(x-{\zeta }^k).$$ 一方 $x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})$。両辺を $(x-1)$ で割って($x\ne 1$) $$\prod _{k=1}^{n-1}(x-{\zeta }^k)=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}.$$ ② $x=1$ を代入する。 両辺は多項式として等しいので $x=1$ を代入してよい。左辺は $\prod _{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)$、右辺は $\underset{n\text{個}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=n$。

よって $\prod _{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)=n$。

まとめ $x^n-1$ を1のn乗根で因数分解し、$(x-1)$ を割ると $1+x+\cdots +x^{n-1}$。$x=1$ 代入で $n$。幾何的には「正 $n$ 角形の1頂点から他の全頂点への距離の積が $n$」を意味する。複素数・多項式・因数分解の融合。

発展 — 一歩先へ。 積が $n$($\prod |1-{\zeta }^k|=n$)なのは、正 $n$ 角形の $1$ 頂点から出る全対角線・辺の長さの積。この事実は「格子上の点の数え上げ」や、多項式の判別式の計算にも使われる。$n=6$ なら $6$ 本の弦(長さ $1,\sqrt{3},2,\sqrt{3},1$ と…実際は $5$ 本)の積が $6$、と手で確かめられる。

別解

別解 — 「正 $n$ 角形の弦の積」として測る(図形で味わうルート)。 $|1-{\zeta }^k|$ は、複素数平面で点 $1$ から点 ${\zeta }^k$ までの距離。つまり $\prod _{k=1}^{n-1}|1-{\zeta }^k|$ は、単位円に内接する正 $n$ 角形の $1$ 頂点から、残り $n-1$ 個の頂点への距離(弦)の積だ。

弦の長さは $|1-{\zeta }^k|=2\sin \frac{k\pi }{n}$(中心角 $\frac{2k\pi }{n}$ の弦)。だから絶対値の積は

$$\prod _{k=1}^{n-1}2\sin \frac{k\pi }{n}=n.$$

一方、積 $\prod _{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)$ 自体は実数で正(${\zeta }^k$ と ${\zeta }^{n-k}$ が共役ペアで、積が正の実数になる)だから、絶対値の積と一致して $n$。

多項式への代入(本解)が代数で示すのに対し、この見方は「正 $n$ 角形の対角線・辺の長さの積がちょうど $n$」という図形的事実を与える。頂点が増えるほど個々の弦は短くなるのに、積が $n$ で増え続けるのが面白い。