1の3乗根

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $z^3=1$ の解 — 絶対値と偏角に分けて考えるのがド・モアブル流だ。

$|z{|}^3=1$ より $|z|=1$(絶対値は正の実数)。偏角は $3$ 倍して $0^{\circ }+360^{\circ }k$ になればよいから

$$3\theta =360^{\circ }k⟹\theta =0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ }$$

単位円を $3$ 等分する $3$ 点 — 正三角形の頂点だ。座標に直せば $1,\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$。「$n$ 乗根は単位円の $n$ 等分」という絵が、この問題の主題である。

① 偏角を $3$ 等分する。 $z^3=1$ の解は偏角 $\frac{360^{\circ }k}{3}=120^{\circ }k$($k=0,1,2$)、絶対値 $1$。

② 各解を書く。

• $k=0$:$\cos 0^{\circ }+i\sin 0^{\circ }=1$。
• $k=1$:$\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
• $k=2$:$\cos 240^{\circ }+i\sin 240^{\circ }=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

$$z=1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$

まとめ:$1$ の $n$ 乗根は「単位円を $n$ 等分した点」。$z^3=1$ なら $120^{\circ }$ ずつ回った $3$ 点。複素数平面で正三角形の頂点をなす。これらの和は $0$ になる、という性質もある。

発展 — 一歩先へ。 一般に $z^n=1$ の解は単位円の $n$ 等分点(正 $n$ 角形の頂点)で、$1$ の $n$ 乗根と呼ばれる。$n=4$ なら $\pm 1,\pm i$、$n=6$ なら正六角形 — 「方程式の解が正多角形を描く」という、代数と幾何の結婚の見本だ。

$n$ 等分点の和は常に $0$(正多角形の重心 $=$ 原点)。この事実は $\Sigma$ 計算・確率(等確率の回転)・信号処理(離散フーリエ変換)まで働く基本装備で、$1+\omega +{\omega }^2=0$ はその最小例である。

別解

数II の因数分解でも、同じ $3$ 解が出せる — 幾何ルートの検算を兼ねて並走させよう。

$$z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0$$

$z=1$ と、$2$ 次方程式 $z^2+z+1=0$ の解

$$z=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$$

ド・モアブルの $3$ 点と完全に一致する。

$2$ つのルートは見ているものが違う。因数分解は「方程式の解」という代数の顔、ド・モアブルは「単位円の $3$ 等分点」という幾何の顔 — $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ という無骨な式が、実は $120^{\circ }$ の点というきれいな場所にいた、という種明かしを両方やって初めて味わえる。

この虚数解は $\omega$(オメガ)の名で数IIにも登場した(${\omega }^2+\omega +1=0$、${\omega }^3=1$)。あのときの代数的な性質が、「$120^{\circ }$ 回転」の言葉ですべて絵になる — ${\omega }^3=1$ は「$3$ 回回せば $1$ 周」、$1+\omega +{\omega }^2=0$ は「正三角形の重心が原点」である。