1の5乗根の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$ は $z^5=1$ を満たす($5$ 乗すると偏角が $2\pi$ で $1$ に戻る)。かつ $z\ne 1$。

$1+z+z^2+z^3+z^4$ は、初項 $1$、公比 $z$ の等比数列の和で $\frac{z^5-1}{z-1}$。

分子が $z^5-1=0$ になるので、和は $0$。

$z\ne 1$($z-1\ne 0$)だから割ってよい、と見通す。

① $z^5=1$ を確認する。 $z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$ をド・モアブルで $5$ 乗すると

$$z^5=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$$

かつ $z\ne 1$($\frac{2\pi }{5}\ne 0$)。

② 等比数列の和。 初項 $1$、公比 $z$、$5$ 項の和は

$$1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{z^5-1}{z-1}$$

③ 値を求める。 $z^5=1$ より分子 $z^5-1=0$、$z-1\ne 0$ だから

$$\frac{z^5-1}{z-1}=\frac{0}{z-1}=0$$

まとめ:$1+z+\cdots +z^4$ は等比数列の和 $\frac{z^5-1}{z-1}$ で、$z^5=1$ だから $0$。これは「$1$ の $5$ 乗根 $5$ 個の和は $0$」という事実(正五角形の頂点の重心が中心 $0$)の表れ。$z\ne 1$ で分母が $0$ でないことの確認が要。

発展 — 一歩先へ。 「$1$ の $n$ 乗根 $n$ 個の和は $0$」は、いつでも成り立つ($n\ge 2$)。$z^n-1=0$ の $n$ 個の解の和が、$z^{n-1}$ の係数(=$0$)で決まるからだ(解と係数の関係)。

幾何的には、$1$ の $5$ 乗根は正五角形の頂点。$5$ 個の位置ベクトルの和が $0$ とは、重心が中心 $0$ にあるということ。対称な図形の頂点は、足すと打ち消し合う。

実部だけを取り出すと $1+2\cos 72°+2\cos 144°=0$ が出る。ここから $\cos 72°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ が求まり、黄金比とつながる。正五角形の対称性が、$1$ 本の等式に凝縮されている。

別解

別解 — 正五角形の重心が中心 $0$ であることから(得意な人向けの視点)。 等比数列の和を経由せず、幾何の対称性からも $0$ が分かる。

$1,z,z^2,z^3,z^4$ は $1$ の $5$ 乗根で、単位円を $5$ 等分した位置、つまり正五角形の頂点。それぞれを位置ベクトルとみる。

正五角形は中心 $0$ について完全に対称。$72°$ ずつ回した $5$ 本のベクトルは、あらゆる向きに均等に散らばっている。だから足し合わせると、どの向きの成分も打ち消し合って $0$ になる。

言いかえると、$5$ 頂点の重心 $\frac{1+z+z^2+z^3+z^4}{5}$ は図形の中心 $0$。よって

$$1+z+z^2+z^3+z^4=0.$$

等比数列の和 $\frac{z^5-1}{z-1}=0$ を使う本解と同じ。「対称な図形の頂点の和は中心(重心)の $5$ 倍」で、中心が $0$ なら和も $0$。代数の計算を、正五角形の対称性が裏づける。