iを掛ける(90°回転)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず、素直に計算しよう。

$$iz=i(1+2i)=i+2i^2=i+2\times (-1)=-2+i$$

答えは $-2+i$。

では、これは幾何的に何をしたことになるのか。

もとの点: $z=1+2i$ → 座標 $(1,2)$

新しい点: $iz=-2+i$ → 座標 $(-2,1)$

この $2$ 点を、複素数平面に打ってみよう。

$(1,2)$ から $(-2,1)$ へ。

原点からの距離は?

$$|z|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},|iz|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$

同じ! 長さは変わっていない。

では、向きは?

$i$ の極形式は $\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }$。 絶対値 $1$、偏角 $90^{\circ }$ だ。

「絶対値 $1$ を掛ける → 長さは変わらない」 「偏角 $90^{\circ }$ を足す → $90^{\circ }$ 回転する」

$$\boxed{i\text{ を掛ける}=90^{\circ }\text{ 回転}}$$

① 計算する。 $i^2=-1$。

$$iz=i(1+2i)=i+2i^2=i-2=-2+i$$

② 意味を述べる。 $i=\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }$(絶対値 $1$、偏角 $90^{\circ }$)。よって $iz$ は $z$ を原点のまわりに $90^{\circ }$ 回転したもの。点 $(1,2)$ が点 $(-2,1)$ にうつる。

まとめ:$i$ を掛ける = $90^{\circ }$ 回転。絶対値 $1$ の複素数を掛けると、大きさを変えずに回転だけする。$(1,2)\to (-2,1)$ は確かに $90^{\circ }$ 回った位置だ。複素数と回転の深い結びつきを表す。

発展 — 一歩先へ。 「$i$ を掛ける $=$ $90^{\circ }$ 回転」

この事実を、行列と比べてみよう。

平面上の点 $(x,y)$ を $90^{\circ }$ 回転させる行列は

$$R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

実際に計算する。

$$R\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\times 1+(-1)\times 2\\ 1\times 1+0\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$$

$(-2,1)$ — この問題の答え $-2+i$ と、完全に一致する ✓

複素数の掛け算と、行列の掛け算が、同じ結果を出す。

さらに、この行列を $2$ 乗してみよう。

$$R^2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I$$

$R^2=-I$ (単位行列のマイナス)。

$i^2=-1$ と、同じ形だ!

この行列 $R$ は、複素数 $i$ と"同じ振る舞い"をする。

もっと一般に、複素数 $a+bi$ は、こんな行列と対応する。

$$a+bi⟷\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$

この対応のもとで、複素数の足し算・掛け算が、行列の足し算・掛け算に、完全に一致する。

「複素数は、特別な形の $2\times 2$ 行列である」

同じ構造が、$2$ つの姿で現れている。 これを同型という。

どちらで計算しても、答えは同じ。 ただ、複素数のほうが、書くのが圧倒的に楽だ。

さて、この「回転」という視点で、複素数の応用を見渡してみよう。

① 交流回路。

電圧と電流は、$\sin$ 波で振動する。 その位相差(ズレ)が、回路の性質を決める。

複素数で書けば、位相差は「偏角の差」になる。 微分方程式を解かずに、掛け算だけで回路が解析できる。

② 信号処理。

フーリエ変換は、信号を「回転する複素数」の重ね合わせとして分解する。

$$e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$$

「単位円の上を、角速度 $\omega$ で回る点」 — それが、周波数 $\omega$ の波の正体だ。

③ 量子力学。

波動関数は、複素数の値をとる。 その位相(偏角)が、干渉という現象を生む。

$2$ つの経路を通った電子が、位相が揃えば強め合い、$180^{\circ }$ ずれていれば打ち消し合う。

「量子の重ね合わせ」の数学的な正体は、複素数の足し算なのだ。

$i(1+2i)=-2+i$

この、$10$ 秒で終わる計算。

その意味は「$90^{\circ }$ 回す」ということであり、そして回転こそが、波を、電気を、量子を記述する言語なのである。

別解

「$i$ を掛ける $=$ $90^{\circ }$ 回転」から、$i^2=-1$ の意味が見えてくる。

$i$ を $2$ 回掛けたら、どうなるか。

$90^{\circ }$ 回転を $2$ 回。 つまり、$180^{\circ }$ 回転だ。

$180^{\circ }$ 回転とは、点を原点に関して反対側へ移すこと。

$$z⟶-z$$

つまり

$$i\times i\times z=-z$$

$$i^{2}z=-z⟹i^2=-1$$

「$i^2=-1$」の幾何的な意味が、これだ。

$90^{\circ }$ 回転を $2$ 回すると、向きが逆になる。

この問題で確かめよう。

$$z=1+2i\stackrel{\times i}{\to }-2+i\stackrel{\times i}{\to }?$$

$$i(-2+i)=-2i+i^2=-1-2i$$

$-1-2i=-(1+2i)=-z$ ✓

確かに、もとの $z$ の符号を変えたものになった。

$4$ 回掛けたら?

$$90^{\circ }\times 4=360^{\circ }$$

$1$ 周して、元に戻る。

$$i^4=1$$

確かめる。 $i^{4}z=i^2(i^{2}z)=(-1)(-z)=z$ ✓

$i$ の累乗が $4$ 周期で循環する理由が、これだ。

$$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,\dots$$

回転の $90^{\circ }$ ずつが、$4$ 回で $1$ 周する。

「$i^2=-1$」は、天下り式の"約束"ではない。

「$90^{\circ }$ 回転を $2$ 回すれば、反転する」という、幾何的な必然だったのだ。

さて、この見方から、「負の数の平方根」という謎も解ける。

$\sqrt{-1}$ とは何か。

「$2$ 乗すると $-1$ になる数」 — 実数には存在しない。

だが、「$2$ 回やると $180^{\circ }$ 回転になる操作」なら、存在する。

それが $90^{\circ }$ 回転だ。

$\sqrt{-1}=i=90^{\circ }$ 回転。

負の数の平方根が「存在しない」のではない。

数直線($1$ 次元)の上には存在しないだけ。

平面($2$ 次元)に出れば、ちゃんと存在する。

$i$ とは、「数直線の外へ出た数」なのである。

そして、この $1$ 歩の踏み出しが、数学の風景を一変させた。

行き詰まったら、次元を上げる。

この発想は、数学のあらゆる場面で繰り返し現れる、強力な戦略なのだ。