極形式から成分へ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極形式から、直交形式($a+bi$)に戻す問題だ。

やることは単純。$\cos$ と $\sin$ の値を代入して、展開するだけ。

$120^{\circ }$ の三角比を、正確に思い出そう。

$$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2},\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

($120^{\circ }$ は第 $2$ 象限。$\cos$ は負、$\sin$ は正。)

代入する。

$$z=2\left(-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+\sqrt{3}i$$

答えは $-1+\sqrt{3}i$。

符号の確認をしよう。

実部が負($-1$)、虚部が正($\sqrt{3}$)。 つまり、点は第 $2$ 象限にある。

偏角 $120^{\circ }$ は第 $2$ 象限の角 — 一致している ✓

「符号が、象限と合っているか」 — この確認を、必ず入れる。

$\cos$ の符号を間違えると、点が別の象限に飛んでしまう。

$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$、$\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入する。

$$z=2(-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=2\times (-\frac{1}{2})+2\times \frac{\sqrt{3}}{2}i=-1+\sqrt{3}i$$

まとめ:極形式 → $a+bi$ は「三角比の値を代入して展開」。$\cos 120^{\circ }$、$\sin 120^{\circ }$ の値を正確に。$2$ をかけて分配すると $-1+\sqrt{3}i$。極形式と成分表示は行き来できる。

発展 — 一歩先へ。 $x^3=8$ の $3$ つの解が、正三角形をなす。

この事実を、一般化しよう。

方程式 $z^n=1$ の解を、$1$ の $n$ 乗根という。

$$z_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$$

$n$ 個の解が、単位円周を $n$ 等分する。

正 $n$ 角形の頂点だ。

$n=3$ のとき、$3$ つの解を $1$、$\omega$、${\omega }^2$ と書く。

$$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

この $\omega$ には、美しい性質がある。

$${\omega }^3=1,1+\omega +{\omega }^2=0$$

$2$ つ目の式は、なぜ成り立つのか。

$z^3-1=0$ を因数分解する。

$$(z-1)(z^2+z+1)=0$$

$\omega \ne 1$ なので、$\omega$ は $2$ つ目の因数の解。

$${\omega }^2+\omega +1=0■$$

幾何的には、こう見える。

正三角形の $3$ 頂点を表すベクトルを足すと、$\vec{0}$ になる。

($3$ つの方向が、$120^{\circ }$ ずつ均等なので、打ち消し合う。)

「対称に配置されたものを全部足すと、$0$」

この原理は、あらゆる場面で使われる。

$1$ の $n$ 乗根についても同じだ。

$$1+\zeta +{\zeta }^2+\cdots +{\zeta }^{n-1}=0(\zeta =\text{1 の原始 n 乗根})$$

正 $n$ 角形の頂点ベクトルの和は、$\vec{0}$。

この性質が、離散フーリエ変換の基礎になる。

信号を $n$ 個のサンプルに分けて、それぞれに $1$ の $n$ 乗根を掛けて足し上げる。

$$X_k=\sum _{j=0}^{n-1}{x}_j{\zeta }^{jk}$$

すると、周波数成分が取り出せる。

なぜ取り出せるのか。 「関係ない周波数の成分は、$1$ の $n$ 乗根の和として $0$ になって消える」からだ。

この計算を高速化したのが、高速フーリエ変換(FFT)。

$1965$ 年に発表され、$20$ 世紀最重要のアルゴリズムの $1$ つと呼ばれる。

あなたのスマホは、音声を、画像を、通信を — すべて FFT で処理している。

その根っこにあるのが、「$1$ の $n$ 乗根が正 $n$ 角形をなす」という、この単純な事実だ。

$2(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ })=-1+\sqrt{3}i$

この、三角比を代入するだけの計算。

その答えが、正三角形の $1$ 頂点であり、$8$ の $3$ 乗根であり、そして現代の信号処理を支える構造の一部なのである。

別解

単位円の図から、$120^{\circ }$ の座標を読む。

三角比の値を暗記するのではなく、図から読み取る方法だ。

半径 $1$ の単位円を描く。

$120^{\circ }$ の方向に、点を打つ。

この点の座標が、$(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })$ である。

$120^{\circ }$ は、$180^{\circ }$ から $60^{\circ }$ 戻った位置だ。

だから、$60^{\circ }$ の点を、$y$ 軸で折り返した位置にある。

$60^{\circ }$ の点の座標は

$$\left(\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ }\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

($1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形から。)

$y$ 軸で折り返すと、$x$ 座標の符号が変わる。

$$\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

これが $120^{\circ }$ の点だ。

$$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2},\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}✓$$

図から読み取れた。

あとは、絶対値 $2$ を掛ける。

$$z=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1+\sqrt{3}i$$

本解と同じ ✓

この「単位円から読む」方法の利点。

符号を間違えない。

$120^{\circ }$ は左上($x<0$、$y>0$)。 だから、$\cos$ は負、$\sin$ は正。図を見れば一目瞭然だ。

丸暗記だと、$\cos 120^{\circ }=\frac{1}{2}$ などと符号を落としがちである。

さて、この $z=-1+\sqrt{3}i$ には、面白い性質がある。

$3$ 乗してみよう。

ド・モアブルを使う。

$$z^3=2^3\left(\cos 360^{\circ }+i\sin 360^{\circ }\right)=8(1+0)=8$$

$z^3=8$!

つまり、$z$ は「$8$ の $3$ 乗根」の $1$ つなのだ。

方程式 $x^3=8$ の解は、$3$ 個ある。

$$x=2,x=-1+\sqrt{3}i,x=-1-\sqrt{3}i$$

実数解は $2$ だけ。 だが、複素数まで含めれば、$3$ 個の解がある。

この $3$ 点を、複素数平面に打つと?

すべて、原点からの距離が $2$。

そして、偏角は $0^{\circ }$、$120^{\circ }$、$240^{\circ }$ — $120^{\circ }$ ずつ等間隔だ。

半径 $2$ の円周を、$3$ 等分している。

$3$ 点を結ぶと、正三角形になる!

「$n$ 乗根は、円周を $n$ 等分する」

代数方程式の解が、正多角形の頂点として現れる。

この、代数と幾何の美しい対応が、複素数平面の最大の見どころである。