純虚数の条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「純虚数」の定義を、正確に押さえよう。

純虚数とは、$bi$($b\ne 0$)の形の数。 つまり

• 実部が $0$
• 虚部が $0$ でない

この $2$ つが、両方必要だ。

($0$ は純虚数ではない。実部も虚部も $0$ だから。)

この問題の複素数を見る。

$$z=(k-2)+3i$$

実部: $k-2$ 虚部: $3$

実部が $0$ になればよい。

$$k-2=0⟹k=2$$

虚部は $3$ で、$0$ ではない ✓ 条件を満たしている。

$$z=0+3i=3i$$

確かに純虚数だ。

「実部 $=0$、虚部 $\ne 0$」 — この $2$ つの確認を、必ずセットで行う。

片方だけでは、不十分である。

① 実部 $=0$ を書く。

$$k-2=0\Rightarrow k=2$$

② 虚部 $\ne 0$ を確認する。 虚部は $3$($\ne 0$)なので条件を満たす。

$$k=2$$

まとめ:純虚数は「実部 $0$、虚部は $0$ でない」($3i$ や $-2i$ など)。実部 $=0$ だけでなく、虚部 $\ne 0$ の確認も必要(実部も虚部も $0$ なら $0$ で純虚数ではない)。ここは虚部 $3$ で自動的に満たされる。

発展 — 一歩先へ。 純虚数は、$2$ 乗すると負の実数になる。

$$z=3i⟹z^2=9i^2=-9$$

確かめよう。 一般に $z=bi$($b$ は実数、$b\ne 0$)なら

$$z^2=b^2{i}^2=-b^2<0$$

必ず、負の実数になる。

逆も成り立つ。

$$z^2\text{が負の実数}⟺z\text{が純虚数}$$

これが、純虚数の"正体"だ。

「$2$ 乗すると負になる数」

実数の世界では、$2$ 乗すれば必ず $0$ 以上だった。

$$x^2\geqq 0(\text{x が実数のとき})$$

この鉄則を破るために、虚数が導入された。

そして、この「$2$ 乗して負」という性質が、方程式の世界を完成させる。

$x^2+9=0$ という方程式。

実数では、解なし。

複素数なら、$x=\pm 3i$ という $2$ 個の解をもつ。

さて、複素数平面で、純虚数はどこにいるか。

実部が $0$ なので、虚軸($y$ 軸)の上だ(原点を除く)。

そして、実数は実軸($x$ 軸)の上。

この $2$ つの軸は、直交している。

「実数と純虚数は、$90^{\circ }$ の関係にある」

この直交性は、偶然ではない。

$i$ を掛けると $90^{\circ }$ 回転する — だから、実数($1$)に $i$ を掛けた $i$ は、実軸から $90^{\circ }$ 回った位置にある。

「実軸と虚軸が垂直」であることの根拠が、$i^2=-1$ なのだ。

そして、この直交性は、物理の世界に現れる。

交流回路のインピーダンス。

$$Z=R+iX$$

• 実部 $R$: 抵抗(エネルギーを消費する)
• 虚部 $X$: リアクタンス(エネルギーを蓄えて返す — 消費しない)

この $2$ つは、本質的に違う性質をもつ。 だから、実部と虚部に分けて表す。

コイルやコンデンサは、純虚数のインピーダンスをもつ。

$$Z_{\text{コイル}}=i\omega L,Z_{\text{コンデンサ}}=\frac{1}{i\omega C}=-\frac{i}{\omega C}$$

どちらも純虚数 — エネルギーを消費しないという物理的な意味をもっている。

電力の計算では、実部だけが「消費電力」になる。

$$P=\mathrm{Re}\left(V\bar{I}\right)$$

虚部は「無効電力」と呼ばれ、行ったり来たりするだけで、仕事をしない。

「純虚数 $=$ エネルギーを消費しない成分」

数学の抽象的な概念が、電気工学では、まったく具体的な意味をもつ。

$k=2$ を求めるだけの、素朴な問題。

その「純虚数」という条件の中に、$90^{\circ }$ の直交性と、エネルギーの本質が宿っている。

別解

共役を使って、「純虚数」を式で表現する。

成分($a$、$b$)を使わずに、$z$ という $1$ 文字だけで条件を書きたい。

共役の性質を思い出そう。

$$z+\bar{z}=2(\text{実部})$$

だから

$$\text{実部}=0⟺z+\bar{z}=0$$

純虚数の条件は、こう書ける。

$$\boxed{z+\bar{z}=0\text{ かつ }z\ne 0}$$

この問題で確かめよう。

$$z=(k-2)+3i,\bar{z}=(k-2)-3i$$

$$z+\bar{z}=2(k-2)$$

これが $0$ になる条件は

$$2(k-2)=0⟹k=2$$

本解と同じ ✓

そして、$k=2$ のとき $z=3i\ne 0$ なので、条件を満たす。

同じように、「実数」の条件も書ける。

$$z\text{ が実数}⟺z=\bar{z}$$

($z-\bar{z}=2i\times$ 虚部 なので、これが $0$ ということ。)

$2$ つを並べてみよう。

$$z\text{ が実数}⟺z=\bar{z}$$ $$z\text{ が純虚数}⟺z=-\bar{z}(z\ne 0)$$

きれいな対比だ。

「共役と等しい」なら実数、「共役の符号違い」なら純虚数。

なぜ、こんな書き換えが必要なのか。

$z$ が、複雑な式で与えられているときに効く。

例: 「$w=\frac{z+1}{z-1}$ が純虚数となる $z$ の軌跡を求めよ。」

もし $z=x+yi$ と成分で書いたら?

分母を実数化して、実部を計算して、$=0$ とおいて $\dots$ 途方もない計算になる。

共役なら、こうだ。

$$w+\bar{w}=0$$

$$\frac{z+1}{z-1}+\frac{\bar{z}+1}{\bar{z}-1}=0$$

分母を払って整理すると

$$(z+1)(\bar{z}-1)+(\bar{z}+1)(z-1)=0$$

$$2z\bar{z}-2=0⟹z\bar{z}=1⟹|z|=1$$

答えは、単位円!($z\ne \pm 1$ は除く。)

わずか $3$ 行だ。

成分で計算していたら、$1$ ページかかる。

「$z$ という $1$ 文字のまま処理する」

この方針を可能にするのが、共役という道具である。

純虚数の条件を、$z+\bar{z}=0$ と書けること。

それは、複素数の問題を、代数の計算として"閉じさせる"ための、決定的な一手なのだ。