数学C / 複素数平面

点のまわりの回転

★★★★ 難関回転複素数平面

問題

複素数平面上で、点 $β = 3 + i$ を、点 $α = 1$ を中心として $90°$ 回転させた点 $w$ を求めよ。

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中心 $α$ のまわりの回転は、いったん $α$ を原点に移し( $β - α$ )、回転( $\times (cos θ + i sin θ)$ )して、 $α$ を戻す。 $90°$ なら $\times i$ 。

解答・解説

点 $α$ を中心とする $θ$ 回転は $w = α + (β - α) (cos θ + i sin θ)$ 。 $90°$ 回転は $cos 90° + i sin 90° = i$ を掛ける。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中心が原点でない回転は「中心を原点に移す → 回転する → 戻す」の $3$ 段。

$α$ を原点に移すと、 $β$ は $β - α$ になる。

$90°$ 回転は $i$ を掛ける( $cos 90° + i sin 90° = i$ )。

最後に $α$ を足して戻す。式にすると $w = α + (β - α) i$ 、と見通す。

重要点

α

のまわりの

θ

回転:

w = α + (β - α) (cos θ + i sin θ)

。

90°

回転は

\times i

① 中心を原点に移す。 $β - α = (3 + i) - 1 = 2 + i$ 。

② $90°$ 回転( $\times i$ )。

$(2 + i) \cdot i = 2 i + i^{2} = 2 i - 1 = - 1 + 2 i$

③ 中心を戻す。 $α = 1$ を足して

$w = 1 + (- 1 + 2 i) = 2 i$

点αのまわりに z を θ回転: w=α+(z−α)(cosθ+isinθ)。図は α=1+i, z=3+i を90°回転→w=1+3i

まとめ:中心 $α$ の回転は「 $w = α + (β - α) (cos θ + i sin θ)$ 」。 $90°$ は $\times i$ 。 $α$ を原点に移す( $β - α$ )、回して、戻す( $+ α$ )の $3$ 段。 $w = 2 i$ 。

発展 — 一歩先へ。 複素数の掛け算は「回転と拡大」。 $i$ を掛けると $90°$ 回転、 $cos θ + i sin θ$ を掛けると $θ$ 回転、 $r (cos θ + i sin θ)$ を掛けると「 $θ$ 回転して $r$ 倍」。だから回転が数の掛け算で書ける。

中心が原点でないときは、「平行移動で中心を原点に合わせ、回して、平行移動で戻す」。 $w = α + (β - α) (cos θ + i sin θ)$ の $3$ つの部分が、この $3$ 段に対応する。

一般の図形の回転・拡大・移動(相似変換)は、 $w = p z + q$ ( $p, q$ は複素数)の形にまとめられる。複素数平面は、平面の変換を計算する道具でもある。

答

$w = 2 i$

別解 — 座標で $90°$ 回転を実行する(苦手な人向けの視点)。 複素数の掛け算に慣れていなくても、点を座標とみて回転すれば同じ答えが出る。

$β = 3 + i$ は点 $(3, 1)$ 、中心 $α = 1$ は点 $(1, 0)$ 。まず中心から $β$ へのベクトルを出す。

$(3, 1) - (1, 0) = (2, 1) .$

このベクトルを、原点まわりに $90°$ 反時計回りに回す。 $90°$ 回転は $(x, y) \to (- y, x)$ だから

$(2, 1) \to (- 1, 2) .$

中心 $(1, 0)$ を足して戻す。

$(1, 0) + (- 1, 2) = (0, 2) .$

これは複素数で $2 i$ 。 $\times i$ で回す本解と同じ $w = 2 i$ 。座標での $90°$ 回転 $(x, y) \to (- y, x)$ が、複素数の「 $\times i$ 」とちょうど同じ働きをする。慣れないうちは座標で確かめると安心だ。